Question

9．如圖甲所示，電動機通過繞過光滑定滑輪的細繩與放在傾角為30^°的光滑斜面上的物體相連，啟動電動機后物體沿斜面上升；在0～3s時間內物體運動的v-t圖象如圖乙所示，其中除1～2s時間段圖象為曲線外，其余時間段圖象均為直線，1s后電動機的輸出功率保持不變；已知物體的質量為2kg，重力加速度g=10m/s²．求

（1）1s后電動機的輸出功率P
（2）物體運動的最大速度v_m
（3）在0-3s內電動機所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據速度時間圖線得出0-1s內的加速度，結合牛頓第二定律求出牽引力的大小，根據P=Fv求出1s后電動機的輸出功率．
（2）當物體的加速度為零時，速度最大，根據平衡求出拉力，結合P=Fv求出最大速度．
（3）0-1s內，根據運動學公式和動能定理求出電動機做功的大小，1s后抓住功率不變，結合W=Pt求出電動機做功的大小，從而得出在0-3s內電動機所做的功．

解答 解：（1）設物體的質量為m，在時間t₁=1s內，做勻加速直線運動的加速度大小為a，1s末物體的速度大小達到v₁，此過程中，細線拉力的大小為F₁，
則根據運動學公式和牛頓第二定律可得：v₁=at₁
F₁-mgsin30°=ma，
其中由圖象可知v₁=5m/s，
在1s末設電動機的輸出功率為P，由功率公式可得：P=F₁v₁
聯(lián)立解得：P=100W
（2）當物體達到最大速度v_m后，設細繩的拉力大小F₂，由牛頓第二定律和功率的公式可得：F₂-mgsin30°=0，
P=F₂v_m，
聯(lián)立解得：v_m=10m/s
（3）在時間t₁=1s內，物體的位移為x，電動機做的功為W₁，則由運動公式及動能定理：
$x=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
${W}_{1}-mgxsin30°=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
設在時間t=3s內電動機做的功為W，則：
W=W₁+P（t-t₁），
代入數據聯(lián)立解得：W=250J．
答：（1）1s后電動機的輸出功率P為100W；
（2）物體運動的最大速度為10m/s；
（3）在0-3s內電動機所做的功為250J．

點評 本題與汽車起動類似，關鍵要分析清楚物體各段的運動規(guī)律以及力的變化情況，明確實際功率達到額定功率時勻加速運動結束，合力為零變加速運動結束．