Question

9．如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑金屬導(dǎo)軌相距L，放在水平絕緣桌面上，半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧部分處在豎直平面內(nèi)，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，末端與桌面邊緣平齊．兩金屬棒ab、cd垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好．棒ab質(zhì)量為2m，電阻為r，棒cd的質(zhì)量為m，電阻為r．重力加速度為g．開始棒cd靜止在水平直導(dǎo)軌上，棒ab從圓弧頂端無初速度釋放，進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后與棒cd始終沒有接觸并一直向右運(yùn)動，最后兩棒都離開導(dǎo)軌落到地面上．棒ab與棒cd落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離之比為3：1．求：
（1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時的速度大小；
（2）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度；
（3）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出ab棒到達(dá)圓弧軌道末端的速度，兩棒組成的系統(tǒng)動量守恒，應(yīng)用動量守恒定律、平拋運(yùn)動規(guī)律可以求出棒的速度．
（2）由E=BLv求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，由牛頓第二定律求出加速度．
（3）由能量守恒定律求出熱量．

解答 解：（1）設(shè)ab棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌的速度為v₁，ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能守恒：$2mgR=\frac{1}{2}×2mv_1^2$…①
離開導(dǎo)軌時，設(shè)ab棒的速度為$v_1^/$，cd棒的速度為$v_2^/$，ab棒與cd棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動，系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
$2m{v_1}=2mv_1^/+mv_2^/$…②
依題意$v_1^/$＞$v_2^/$，兩棒離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動的時間相等，由平拋運(yùn)動水平位移：x=vt，可知：$v_1^/$：$v_2^/$=x₁：x₂=3：1…③
聯(lián)立①②③解得：$v_1^/=\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$，$v_2^/=\frac{2}{7}\sqrt{2gR}$；
（2）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時，cd棒受到的安培力最大，此時它的加速度最大，
設(shè)此時回路的感應(yīng)電動勢為ε，ε=BLv…④
電流：$I=\frac{ε}{2r}$…⑤
cd棒受到的安培力為：F_cd=BIL…⑥
根據(jù)牛頓第二定律，cd棒的最大加速度為：$a=\frac{{{F_{cd}}}}{m}$…⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦解得：$a=\frac{{{B^2}{L^2}\sqrt{2gR}}}{2mr}$；
（3）根據(jù)能量守恒，兩棒在軌道上運(yùn)動過程產(chǎn)生的焦耳熱為：$Q=\frac{1}{2}×2mv_1^2-（\frac{1}{2}×2mv_1^{/2}+\frac{1}{2}mv_2^{/2}）$…⑧
聯(lián)立①⑧并代入$v_1^/$和$v_2^/$，
解得：$Q=\frac{22}{49}mgR$；
答：（1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時的速度大小分別為：$\frac{6}{7}$$\sqrt{2gR}$、$\frac{2}{7}$$\sqrt{2gR}$；
（2）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$；
（3）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{22}{49}$mgR．

點(diǎn)評 本題考查了求速度、加速度與焦耳熱問題，分析清楚導(dǎo)體棒的運(yùn)動過程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動量守恒定律、E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律與能量守恒定律即可正確解題．