Question

6．已知地球繞太陽做圓周運動的軌道半徑的三次方與周期的二次方之比為k，萬有引力常量為G．求：
（1）太陽的質量M；
（2）若已知地球繞太陽做圓周運動的周期為T，火星和地球繞太陽運動環(huán)繞太陽方向相同，軌道平面近似在同一個平面上，火星繞太陽做圓周運動的周期為1.9T，求地球與火星相鄰兩次距離最近時的時間間隔t．

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供地球做圓周運動的向心力，應用牛頓第二定律可以求出太陽的質量；
（2）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律求出周期，兩星轉過的角度之差△θ=2π時，火星與地球相鄰再次相距最近，從而求出時間．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，整理得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$=k，
解得，太陽質量：M=$\frac{4k{π}^{2}}{G}$；
（2）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，
加速度：ω=$\frac{2π}{T}$，
根據圓周運動規(guī)律，地球再一次與火星相距最近的條件是：
ω_地t-ω_火t=2π，ω_地=$\frac{2π}{T}$，ω_火=$\frac{2π}{{T}_{火}}$，
聯(lián)立解得：t=$\frac{T{T}_{火}}{{T}_{火}-T}$=$\frac{19}{9}$T≈2.1T；
答：（1）太陽的質量M為$\frac{4k{π}^{2}}{G}$；
（2）地球與火星相鄰兩次距離最近時的時間間隔t為2.1T．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，知道萬有引力提供向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題；本題的解題關鍵是：確定地球與火線相距最近的條件．