Question

（2012?房山區(qū)模擬）發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，可認為先將衛(wèi)星發(fā)射至距地面高度為h₁的圓形軌道上，在衛(wèi)星經過A點時點火（噴氣發(fā)動機工作）實施變軌進入橢圓軌道，橢圓軌道的近地點為A，遠地點為B．在衛(wèi)星沿橢圓軌道運動經過B點再次點火實施變軌，將衛(wèi)星送入同步軌道（遠地點B在同步軌道上），如圖所示．兩次點火過程都是使衛(wèi)星沿切向方向加速，并且點火時間很短．已知同步衛(wèi)星的運動周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，求：
（1）地球的第一宇宙速度
（2）衛(wèi)星在圓形軌道運行接近A點時的加速度大��；
（3）衛(wèi)星同步軌道距地面的高度．

Answer 1

分析：（1）近地圓軌道上萬有引力等于重力，根據重力提供圓周運動向心力可以求出地球的第一宇宙速度表達式；
（2）在地球表面重力等于萬有引力，在軌道上A處萬有引力提供圓周運動向心力，據此列式求解A點的向心加速度；
（3）同步衛(wèi)星周期與地球自轉周期相同，根據萬有引力提供圓周運動向心力分析．

解答：解：（1）衛(wèi)星作圓周運動向心力由重力提供即：
mg=m

v2

R

解得：v=

gR

（2）設地球質量為M，衛(wèi)星質量為m，萬有引力常量為G、衛(wèi)星在近地圓軌道運動接近A點時的加速度為a_A，在A點萬有引力提供圓周運動向心力有：
G

Mm

(R+h1)2

=maA       ①
又因為物體在地球表面上受到的萬有引力等于重力
G

Mm

R2

=mg        ②
由①和②解得：aA=

R2

(R+h1)2

g
（3）設同步軌道距地面高度為h₂，根據萬有引力提供向心力有：、
G

Mm

(R+h2)2

=m(R+h2)

4π2

T2

        ③
由②③兩式解得：h₂=

3	gR2T2 4π2

-R
答：（1）地球的第一宇宙速度v=

gR

（2）衛(wèi)星在圓形軌道運行接近A點時的加速度大小為aA=

R2

(R+h1)2

g；
（3）衛(wèi)星同步軌道距地面的高度h₂=

3	gR2T2 4π2

-R．

點評：衛(wèi)星問題主要抓住兩點：一是地球表面重力和萬有引力相等，二是衛(wèi)星做圓周運動時萬有引力提供圓周運動的向心力．