Question

【題目】人類對(duì)未知事物的好奇和科學(xué)家們的不懈努力，使人類對(duì)宇宙的認(rèn)識(shí)越來越豐富。

（1）開普勒?qǐng)?jiān)信哥白尼的“日心說”，在研究了導(dǎo)師第谷在20余年中堅(jiān)持對(duì)天體進(jìn)行系統(tǒng)觀測(cè)得到的大量精確資料后，提出了開普勒三定律，為人們解決行星運(yùn)動(dòng)問題提供了依據(jù)，也為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律提供了基礎(chǔ)。開普勒認(rèn)為：所有行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。行星軌道半長(zhǎng)軸的三次方與其公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個(gè)常量。實(shí)際上行星的軌道與圓十分接近，在中學(xué)階段的研究中我們按圓軌道處理。請(qǐng)你以地球繞太陽公轉(zhuǎn)為例，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)出此常量的表達(dá)式。

（2）已知引力常量為G，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度是g，請(qǐng)估算地球的質(zhì)量M及第一宇宙速度v的大小。

（3）天文觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在銀河系中，由兩顆相距較近、僅在彼此間引力作用下運(yùn)行的恒星組成的雙星系統(tǒng)很普遍。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，兩顆恒星之間的距離為d，引力常量為G。求此雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）

【解析】

（1）設(shè)太陽質(zhì)量為，地球質(zhì)量為，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r，太陽對(duì)地球的引力是地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律有

解得

太陽質(zhì)量和萬有引力常量是一個(gè)定值，行星軌道半長(zhǎng)軸的三次方與其公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個(gè)常量

（2）設(shè)地面上的物體質(zhì)量為m，根據(jù)

地球的質(zhì)量

根據(jù)

解得第一宇宙速度v

（3）設(shè)雙星的質(zhì)量分別為 、，軌道半徑分別為 、，根據(jù)萬有引力定律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律有

且有

雙星總質(zhì)量為