Question

在直角坐標(biāo)系y軸右側(cè)有相互垂直的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁場方向垂直紙面向里，電場方向沿y軸負(fù)方向，電場強(qiáng)度大小為E．一質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子（重力不計(jì)）從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向做直線運(yùn)動，運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)撤去電場，當(dāng)粒子在磁場中運(yùn)動到距離原點(diǎn)O最遠(yuǎn)處P點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）時(shí)，撤去磁場，同時(shí)加另一勻強(qiáng)電場，其方向沿y軸負(fù)方向，最終粒子垂直于y軸飛出．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），P點(diǎn)坐標(biāo)為((1+

2

2

)a，(1+

2

2

)a)．求
（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑．
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度艿和粒子運(yùn)動到彳點(diǎn)時(shí)速度v的大�。�
（3）整個(gè)過程中電場力對粒子做的功．
（4）粒子從原點(diǎn)D開始運(yùn)動到垂直于y軸飛出過程所用的總時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子先沿x軸正方向做直線運(yùn)動，運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí)撤去電場后作勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動到P點(diǎn)后，撤去磁場后，PQ過程的逆過程可看做類平拋運(yùn)動，畫出軌跡，由幾何知識求出粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑．
（2）OA段粒子做勻速直線運(yùn)動，洛倫茲力與電場力二力平衡，列式；AP段粒子做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律列式；即可求解．
（3）全過程中電場力只在PQ段對粒子做功，由動能定理求解電場力做功．
（4）分段求時(shí)間．根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系，求出在磁場中運(yùn)動的時(shí)間．根據(jù)類平拋運(yùn)動的規(guī)律求出電場中運(yùn)動的時(shí)間，即可求得總時(shí)間．

解答：解：（1）粒子的運(yùn)動軌跡如圖，由P點(diǎn)距原點(diǎn)最遠(yuǎn)可知，粒子做圓周運(yùn)動的圓心在OP連線上．設(shè)AP段粒子做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，由幾何關(guān)系得：R=a  ①
（2）OA段粒子做勻速直線運(yùn)動，由二力平衡得：
  qE=qvB  ②
設(shè)AP段粒子做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律得：
 qvB=m

v2

R

  ③
①②③三式聯(lián)立得：B=

mE qa

  ④
                v=

qEa m

  ⑤
（3）PQ過程的逆過程可看做類平拋運(yùn)動，故粒子從y軸射出時(shí)的速度為v_x．
根據(jù)幾何知識得知，圖中θ=45°．
  v_x=vsinθ  ⑥
全過程中電場力只在PQ段對粒子做功，由動能定理得：
  W=

1

2

m

v

2 x

-

1

2

mv2  ⑦
  W=-

1

4

qEa  ⑧
（4）粒子做圓周運(yùn)動的時(shí)間 t2=

3

8

T ⑩
 T=

2πm

qB

  （11）
粒子做類平拋運(yùn)動的時(shí)間t₃=

x

vx

=

(1+ 2 2 )acos45°

qEa m sin45°

=（1+

2

2

）

ma qE

  （12）
粒子從原點(diǎn)O開始運(yùn)動到垂直于y軸飛出過程所用的總時(shí)間t=t1+t2+t3=(2+

2

+

3π

4

)

ma qE

  （13）
答：
（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑為a．
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

mE qa

和粒子運(yùn)動到P點(diǎn)時(shí)速度v的大小為

qEa m

．
（3）整個(gè)過程中電場力對粒子做的功為

1

4

qEa．
（4）粒子從原點(diǎn)D開始運(yùn)動到垂直于y軸飛出過程所用的總時(shí)間為（2+

2

+

3π

4

）

ma qE

．

點(diǎn)評：帶電粒子在勻強(qiáng)電場和磁場中的運(yùn)動是整個(gè)高中的重點(diǎn)，也是高考的必考的內(nèi)容，粒子的運(yùn)動過程的分析是解題的關(guān)鍵．