Question

16．隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，人類宇航員可以乘航天器登陸一些未知星球．一名字航員在登陸某星球后為了測(cè)量此星球的質(zhì)量進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：他把一小鋼球從距星球表面高度為h處以水平速度v₀拋出，測(cè)得落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)間的水平距離為S．此前通過天文觀測(cè)測(cè)得此星球的半徑為R，已知萬有引力常量為G，不計(jì)小鋼球下落過程中的氣體阻力，可認(rèn)為此星球表面的物體受到的重力等于物體與星球之間的萬有引力．求：
（1）此星球表面的重力加速度g；
（2）此星球的質(zhì)量M；
（3）距離此星球表面高H的圓形軌道上的衛(wèi)星．繞此星球做勻速園周運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合萬有引力等于重力求出衛(wèi)星在圓形軌道上運(yùn)行的周期．

解答 解：（1）做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）根據(jù)星球表面的物體受到的萬有引力近似等于其重力，則：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m（R+H）（\frac{2π}{T}）^{2}$
又GM=gR²
解得$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
因?yàn)間=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
所以T=$\sqrt{\frac{2{π}^{2}{（R+H）}^{3}{t}^{2}}{h{R}^{2}}}$．
答：（1）此星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）此星球的質(zhì)量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）衛(wèi)星的運(yùn)行周期為$\sqrt{\frac{2{π}^{2}{（R+H）}^{3}{t}^{2}}{h{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．