Question

9．如圖所示，支架裝置BO′O可繞豎直軸O′O水平轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角為37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長L=lm，B點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸O′O的水平距離和距C點(diǎn)豎直距離相等．（重力加速度g取l0m/m²．sin37°=0.6．cos37°=0.8．sm53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）若裝罝靜止不動(dòng)時(shí)，求細(xì)線AB的拉力T_B和細(xì)線AC的拉力T_C的大小；
（2）若裝置以角速度ω=2$\sqrt{5}$rad/s繞豎直軸O′O水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求細(xì)線AC和轉(zhuǎn)軸O′O間夾角θ的大�。�

Answer 1

分析 （1）靜止時(shí)受力分析，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）對(duì)小球進(jìn)行受力分析，當(dāng)細(xì)線AB張力為零時(shí)，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖1，由平衡條件得：

T_AB=mgtan37°=0.75×1×10=7.5N，${T}_{AC}=\frac{mg}{cos37°}=\frac{1×10}{0.8}=12.5$N
（2）由題意，當(dāng)AB的拉力是0，對(duì)應(yīng)的ω最小時(shí)，繩AC與豎直方向的夾角α=37°，受力分析，如圖2，則有
$mgtanα=m（lsinα）{{ω}_{min}}^{2}$
解得：${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$rad/s$＜2\sqrt{5}$rad/s
當(dāng)ω最大時(shí)，繩子AB豎直，有幾何關(guān)系可知，繩AC與豎直方向的夾角β=53°，則

$mgtanβ=m（lsinβ）{{ω}_{max}}^{2}$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s＜2$\sqrt{5}$rad/s，
所以裝置以2$\sqrt{5}$rad/s的角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，細(xì)線AC與豎直方向之間的夾角是53°
答：（1）當(dāng)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，AB細(xì)線上的拉力為7.5N，AC細(xì)線上的拉力大小為12.5N；
（2）若裝置以角速度ω=2$\sqrt{5}$rad/s繞豎直軸O′O水平勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求細(xì)線AC和轉(zhuǎn)軸O′O間夾角θ是53°．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，確定小球運(yùn)動(dòng)過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．