Question

（2005?煙臺(tái)模擬）某行星表面沒有氣體，在它的表面附近作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的環(huán)繞周期為T，如果宇航員在這個(gè)行星地面上以v的初速度豎直向上拋出一石塊，石塊向上運(yùn)動(dòng)的最大高度為h．已知萬有引力恒量為G，求該行星的質(zhì)量有多大．

Answer 1

分析：解：設(shè)行星半徑為r，根據(jù)題意，它的衛(wèi)星的軌道半徑也為r．對(duì)石塊研究，根據(jù)機(jī)械能守恒定律或勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式，可求得該行星表面的重力加速度g．根據(jù)行星表面向心力等于重力m

4π2

T2

r=mg，故可以r．再根據(jù)萬有引力等于向心力F=G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，就可以求得行星的質(zhì)量．

解答：解：設(shè)行星半徑為r，根據(jù)題意，它的衛(wèi)星的軌道半徑也為r，設(shè)該行星表面的重力加速度為g、質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，石塊質(zhì)量為m₁
根據(jù)機(jī)械能守恒定律  

1

2

m₁v²=m₁gh　　
得　g=

v2

2h

衛(wèi)星的向心力F=mω²r=m

4π2

T2

r
向心力等于重力m

4π2

T2

r=mg　　
故　r=

gT2

4π2

也就是r=

v2T2

8hπ2

根據(jù)萬有引力定律F=G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
由以上各式得　M=

v6T2

128Gπ4h3

答：該行星的質(zhì)量為

v6T2

128Gπ4h3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系星球表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．