Question

4．如圖，圖中坐標原點O（0，0）處有一帶電粒子源，沿xOy平面內(nèi)向y≥0，x≥0的區(qū)域內(nèi)的各個方向發(fā)射粒子．粒子的速率均為v，質(zhì)量均為m，電量均為+q．有人設計了方向垂直于xOy平面向里、磁感應強度為B的勻強磁場區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該區(qū)域的邊界射出時均能沿y軸負方向運動，不考慮粒子間相互作用，不計粒子重力．試求：
（1）求粒子與x軸相交的坐標范圍；
（2）求粒子與y軸相交的坐標范圍；
（3）該勻強磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑，結(jié)合圖象求出與x軸相交的坐標范圍；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑，結(jié)合圖象求出與y軸相交的坐標范圍；
（3）作圖并求出最小磁場對應的陰影區(qū)域的面積；

解答 解：（1）設粒子做勻速圓周運動的半徑為R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$…①
解得：$R=\frac{mv}{qB}$…②
結(jié)合圖象由②式可知，粒子與x軸相交的坐標范圍為：0～$\frac{2mv}{qB}$
（3）結(jié)合圖象由②式可知，粒子與y軸相交的坐標范圍為：$0～\frac{2mv}{qB}$
（3）由題可知，勻強磁場的最小范圍如圖中的陰影區(qū)域所示
第一象限區(qū)域一個半徑為R的半圓面積為：${S}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}π{R}_{\;}^{2}$
第二象限區(qū)域四分之一圓的面積為：${S}_{2}^{\;}=\frac{1}{4}π（2R）_{\;}^{2}=π{R}_{\;}^{2}$
第二象限一個半徑為R的半圓面積為：${S}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}π{R}_{\;}^{2}$
則陰影部分面積為：$△S={S}_{1}^{\;}+（{S}_{2}^{\;}-{S}_{3}^{\;}）$=$π{R}_{\;}^{2}$=$\frac{π{m}_{\;}^{2}{v}_{\;}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$
答：（1）粒子與x軸相交的坐標范圍$0～\frac{2mv}{qB}$；
（2）粒子與y軸相交的坐標范圍$0～\frac{2mv}{qB}$；
（3）該勻強磁場區(qū)域的最小面積$\frac{π{m}_{\;}^{2}{v}_{\;}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$

點評 在帶電粒子在磁場中運動中，要注意圓心及半徑的確定；同時應利用好幾何關系；此類問題對學生的要求較高，要求學生具有較好的數(shù)學功底；在做題時，要注意畫圖．