Question

3．已知某行星半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，以其第一宇宙速度運(yùn)行的衛(wèi)星繞行星的周期為T(mén)，該行星的同步衛(wèi)星運(yùn)行速度為V，求：
①該行星的質(zhì)量是多少？
②求該行星的自轉(zhuǎn)周期？

Answer 1

分析 ①萬(wàn)有引力提供向心力，由萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以求出行星質(zhì)量；
②萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出同步衛(wèi)星的周期，然后求出行星的周期．

解答 解：萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力；①由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得，行星的質(zhì)量：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
②對(duì)同步衛(wèi)星，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}$，
衛(wèi)星的周期：T′=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$；
答：①該行星的質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
②求該行星的自轉(zhuǎn)周期是$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 同步衛(wèi)星的周期與行星的周期相同，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以解題，要掌握萬(wàn)有引力定律應(yīng)用的基本解題思路．