Question

2007年10月24日，我國(guó)自主研發(fā)的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星發(fā)射升空，先后經(jīng)歷調(diào)相軌道、地月轉(zhuǎn)移軌道、月球捕獲軌道三個(gè)階段（如圖所示）．于11月5日與月球“相會(huì)”，實(shí)現(xiàn)了中華民族千年奔月的夢(mèng)想．根據(jù)相關(guān)信息，完成下列計(jì)算：
（1）10月31日17時(shí)28分，“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，軌道控制結(jié)束．衛(wèi)星進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道．已知地球質(zhì)量約為月球質(zhì)量的81倍，地球到月球直線距離約為38萬(wàn)公里，則衛(wèi)星在地月連線上受到地球和月球引力相等時(shí)大約距月球多遠(yuǎn)？（結(jié)果取一位有效數(shù)字）
（2）11月7日8點(diǎn)34分“嫦娥一號(hào)”第三次近月制動(dòng)成功，衛(wèi)星在距月球表面高h(yuǎn)的圓形軌道上繞月球做周期T的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球的半徑R_月，引力常量G，忽略地球?qū)πl(wèi)星的引力作用，據(jù)此計(jì)算月球的質(zhì)量（用G、T、h、R_月表示）．

Answer 1

分析：1、衛(wèi)星在地月連線上受到地球和月球引力相等，根據(jù)萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式列式計(jì)算即可．
2、衛(wèi)星在月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由月球的萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．

解答：解：（1）由萬(wàn)有引力定律：當(dāng)衛(wèi)星在地月連線上受到地球和月球引力相等時(shí)，有
G

M地m

r12

=G

M月m

r22

又：r1+r2=3.8×105km

M地

M月

=

81

1

解得：此衛(wèi)星距離月球的距離為r₂=4×10⁴km
（2）月球?qū)Α版隙鹨惶?hào)”的萬(wàn)有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．
由G

M月m

(R月+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

得：M月=

4π2(R月+h)3

GT2

答：（1）衛(wèi)星在地月連線上受到地球和月球引力相等時(shí)大約距月球4×10⁴km．
（2）月球的質(zhì)量為

4π2(R月+h)3

GT2

．

點(diǎn)評(píng)：已知衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑，可求出月球的質(zhì)量，關(guān)鍵要能運(yùn)用萬(wàn)有引力提供向心力．