Question

11．如圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)．小球A、B質量分別為m、βm（β為待定系數(shù)）．A球從在邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為$\frac{1}{4}$R，碰撞中無機械能損失．重力加速度為g．試求：
（1）待定系數(shù)β；
（2）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）由題，碰撞中無機械能損失，以AB組成的系統(tǒng)研究，由機械能守恒定律研究A球從靜止開始下滑到碰撞后A、B球達到的最大高度的過程，可求出待定系數(shù)β；
（2）碰撞后，A、B兩球各自的機械能守恒，可求出碰撞后的速度，B球由軌道的支持力和重力的合力提供向心，由牛頓運動定律求解B球對軌道的壓力；

解答 解（1）A球從靜止開始下滑到碰撞后A、B球達到的最大高度的過程，由機械能守恒定律得
 $mgR=\frac{mgR}{4}+\frac{βmgR}{4}$
解得：β=3
（2）設 A、B 碰撞后的速度分別為 v₁、v₂，則
$\frac{1}{2}m{v_1}^2=\frac{mgR}{4}$
$\frac{1}{2}βm{v_2}^2=\frac{βmgR}{4}$
設向右為正、向左為負，解得  ${v_1}=-\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向左 ${v_2}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向右
設軌道對 B 球的支持力為 N，B 球對軌道的壓力為N′，方向豎直向上為正、向下為負．則$N-βmg=βm\frac{{{v_2}^2}}{R}$，N'=-N=-4.5mg，方向豎直向下．
答：（1）待定系數(shù)β是3．
（2）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度為$-\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向左和$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向右；B球對軌道的壓力是4.5mg，方向豎直向下．

點評 兩球發(fā)生彈性碰撞，遵守兩大守恒：機械能守恒和動量守恒，要靈活選擇研究對象和研究的過程，難度適中．