Question

1．如圖所示，水平軌道左端與長(zhǎng)L=1.25m的水平傳送帶相接，傳送帶逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₀=1m/s．輕彈簧右端固定在光滑水平軌道上，彈簧處于自然狀態(tài)．現(xiàn)用質(zhì)量m=0.1kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮后由靜止釋放，到達(dá)水平傳送帶左端B點(diǎn)后，立即沿切線進(jìn)入豎直固定的光滑半圓軌道最高點(diǎn)并恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)圓周最低點(diǎn)C后滑上質(zhì)量為M=0.9kg的長(zhǎng)木板上．豎直半圓軌道的半徑R=0.4m，物塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.8，物塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.25，取g=10m/s²    求：

（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大小．
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_p．
（3）求當(dāng)長(zhǎng)木板與水平地面間光滑和當(dāng)長(zhǎng)木板與水平地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₃=0.026時(shí)，要使小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，木板長(zhǎng)度S分別是多少？（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求解；
（2）根據(jù)B點(diǎn)速度，分析物塊在傳送帶上的摩擦力、速度，然后由動(dòng)能定理求解；
（3）由機(jī)械能守恒求得物塊在C點(diǎn)的速度；分別對(duì)物塊和長(zhǎng)木板進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求得加速度，進(jìn)而得到兩者的運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到相對(duì)位移．

解答 解：（1）物塊沿切線進(jìn)入豎直固定的光滑半圓軌道最高點(diǎn)并恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，那么，由牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{gR}=2m/s$；
（2）v_B＞v₀，故物塊在傳送帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)，摩擦力f=μ₁mg=0.8N不變，那么，對(duì)物塊由靜止到B點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-fL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能${E}_{p}=fL+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=1.2J$；
（3）物塊從B到C只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+4gR}=2\sqrt{5}m/s$；
當(dāng)長(zhǎng)木板與水平地面間光滑時(shí)，物塊在長(zhǎng)木板上做加速度${a}_{m}=\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g=2.5m/{s}^{2}$的勻減速運(yùn)動(dòng)，木板做加速度${a}_{M}=\frac{{μ}_{2}mg}{M}=\frac{5}{18}m/{s}^{2}$的勻加速運(yùn)動(dòng)；
那么，兩者要達(dá)到共同速度，需要運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，則有：v_C-a_mt=a_Mt；
所以，物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的相對(duì)位移最大為$x={v}_{C}t-\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}=3.6m$，故要使小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，木板長(zhǎng)度S=x=3.6m；
當(dāng)長(zhǎng)木板與水平地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₃=0.026時(shí)，μ₂mg＜μ₃（M+m）g，故長(zhǎng)木板保持靜止不動(dòng)，物塊在長(zhǎng)木板上做加速度${a}_{m}=2.5m/{s}^{2}$的勻減速運(yùn)動(dòng)；
那么，物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)的最大距離$x′=\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2{a}_{m}}=4m$，故要使小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，木板長(zhǎng)度S=x′=4m；
答：（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大小為2m/s；
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_p為1.2J；
（3）當(dāng)長(zhǎng)木板與水平地面間光滑和當(dāng)長(zhǎng)木板與水平地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₃=0.026時(shí)，要使小物塊恰好不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，木板長(zhǎng)度S分別是3.6m，4m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．