Question

4．如圖所示，是雙人花樣滑冰運動中男運動員拉著女運動員做圓錐擺運動的精彩場面．若女運動員伸直的身體與豎直方向的夾角為θ，質量為m，轉動過程中女運動員的重心做勻速圓周運動的半徑為r，忽略女運動員受到的摩擦力，重力加速度為g，求：
（1）當女運動員對冰面的壓力為其重力的$\frac{1}{2}$時，男運動員的拉力大小及兩人轉動的周期；
（2）當女運動員剛要離開冰面時，男運動員的拉力大小及兩人轉動的周期．

Answer 1

分析 以女運動員為研究對象，分析受力情況，由重力和男運動員的拉力的合力提供女運動員的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解拉力和角速度．

解答 解：（1）對女運動員受力分析，沿半徑方向有F₁sinθ=m${{ω}_{1}}^{2}$r
豎直方向有F_N+F₁cosθ=mg
其中F_N=$\frac{1}{2}$mg
聯(lián)立①②③解得ω₁=$\sqrt{\frac{gtanθ}{2r}}$
F₁=$\frac{mg}{2cosθ}$．又由T₁=$\frac{2π}{{ω}_{1}}$得T₁=2π$\sqrt{\frac{2r}{gtanθ}}$
（2）當女運動員剛要離開冰面時，男運動員對女運動員的拉力F₂和女運動員的重力mg的合力為女運動員提供向心力F，由可得F₂=$\frac{mg}{cosθ}$
由牛頓第二定律得mgtanθ=m${{ω}_{2}}^{2}$r
解得ω₂=$\sqrt{\frac{gtanθ}{r}}$故T₂=$\frac{2π}{{ω}_{2}}$=2π$\sqrt{\frac{r}{gtanθ}}$
答：（1）當女運動員對冰面的壓力為其重力的$\frac{1}{2}$時，男運動員的拉力大小為$\frac{mg}{2cosθ}$，兩人轉動的周期為2π$\sqrt{\frac{2r}{gtanθ}}$；
（2）當女運動員剛要離開冰面時，男運動員的拉力大小為$\frac{mg}{cosθ}$，兩人轉動的周期為2π$\sqrt{\frac{r}{gtanθ}}$．

點評 本題是實際問題，要建立物理模型，對實際問題進行簡化．常規(guī)題，難度不大．