Question

15．如圖所示，有一對(duì)平行金屬板，板間加有恒定電壓；兩板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向垂直于紙面向里．金屬板右下方以MN、PQ為上、下邊界，MP為左邊界的區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度為d，MN與下極板等高，MP與金屬板右端在同一豎直線上．一電荷量為q、質(zhì)量為m的正離子，以初速度v₀沿平行于金屬板面、垂直于板間磁場(chǎng)的方向從A點(diǎn)射入金屬板間，不計(jì)離子的重力．
（1）已知離子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求金屬板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）若撤去板間磁場(chǎng)B₀，已知離子恰好從下極板的右側(cè)邊緣射出電場(chǎng)，方向與水平方向成30°角，求A點(diǎn)離下極板的高度；
（3）在（2）的情形中，為了使離子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)后從邊界MP的P點(diǎn)射出，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力和洛侖茲力二力平衡，根據(jù)平衡條件列式，即可求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，由左手定則判斷出洛茲力的方向，即可確定電場(chǎng)強(qiáng)度的方向；
（2）撤去板間磁場(chǎng)B₀，離子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行于極板做勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于極板做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度的分解求出離子從M點(diǎn)射出電場(chǎng)時(shí)的速度，由動(dòng)能定理求解A點(diǎn)離下極板的高度；
（3）根據(jù)題意畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出軌跡半徑，再由洛倫茲力提供向心力，列式求解B．

解答 解：（1）設(shè)板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受到的電場(chǎng)力和洛侖茲力平衡有：
qE=qv₀B₀
解得：E=v₀B₀ ①
由左手定則可判斷出洛侖茲力方向豎直向上，所以電場(chǎng)力的方向豎直向下，故場(chǎng)強(qiáng)的方向豎直向下．
（2）設(shè)A點(diǎn)離下極板的高度為h，離子射出電場(chǎng)時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$qEh=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$②
離子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平分方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有 v=$\frac{v_0}{cos30°}$③
聯(lián)立①②③解得：h=$\frac{mv_0^2}{{6q{v_0}{B_0}}}$=$\frac{{m{v_0}}}{{6q{B_0}}}$④
（3）設(shè)離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由幾何關(guān)系得：r=$\frac{{\frac{1}{2}d}}{sin60°}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}d$ ⑤
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{v^2}{r}$⑥
聯(lián)立③⑤⑥解得：$B=\frac{{2m{v_0}}}{qd}$；
答：（1）金屬板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為v₀B₀，方向豎直向下；
（2）A點(diǎn)離下極板的高度為$\frac{{m{v_0}}}{{6q{B_0}}}$；
（3）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為$\frac{{2m{v_0}}}{qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子速度選擇器、電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的綜合，關(guān)鍵要掌握類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，并能運(yùn)用動(dòng)能定理求解h．
磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵要正確畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解半徑．