Question

6．兩固定水平平行金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌上放著兩根相同導(dǎo)體棒ab和cd，已知每根導(dǎo)體棒質(zhì)量均為m，電阻均為R，導(dǎo)軌光滑且電阻不計(jì)，整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B，開始時(shí)ab和cd兩導(dǎo)體棒有方向相反的水平初速度，大小分別為v₀和2v₀
（1）求從開始到最終穩(wěn)定的過程中回路總共產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）當(dāng)ab棒的速度大小變?yōu)?\frac{{v}_{0}}{4}$時(shí)，求：
①通過cd棒的電荷量q為多少？
②兩棒間的距離增大了多少？

Answer 1

分析 （1）由于ab、cd兩導(dǎo)體棒切割磁感線，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流．它們?cè)诎才嗔Φ米饔孟伦鰷p速運(yùn)動(dòng)，由于兩棒的質(zhì)量相等，所受的安培力大小相等，cd棒的初速度較大，所以當(dāng)ab減速為零時(shí)，cd棒仍在向右運(yùn)動(dòng)，以后cd棒繼續(xù)減速，而ab棒反向加速，直到兩棒達(dá)到共同速度后，回路中無感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v做勻速運(yùn)動(dòng)．對(duì)兩棒組成的系統(tǒng)，合外力為零，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，根據(jù)兩棒總動(dòng)量守恒和能量守恒求解從開始到最終穩(wěn)定回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）當(dāng)ab棒的速度大小變?yōu)?\frac{{v}_{0}}{4}$時(shí)有兩種情況：一種速度方向向左，另一種速度方向向右．對(duì)兩種情況，分別運(yùn)用動(dòng)量守恒定律求出cd棒的速度，再運(yùn)用動(dòng)量定理求通過cd棒的電荷量q，根據(jù)q=$\frac{△Φ}{R}$求兩棒間的距離增加量．

解答 解：（1）從開始到最終穩(wěn)定的過程中，兩棒的總動(dòng)量守恒，取水平向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有：
2mv₀-mv₀=2mv_共．
解得：v_共=$\frac{{v}_{0}}{2}$
由能量守恒定律可得從開始到最終穩(wěn)定回路中總共產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$m（2v₀）²-$\frac{1}{2}$（2m）v_共²=$\frac{9}{4}$mv₀²
（2）分析兩種情況可知，當(dāng)ab棒的速度大小是$\frac{{v}_{0}}{4}$時(shí)有兩種情況：
1°當(dāng)ab棒的速度未反向，即向左時(shí)，設(shè)此時(shí)cd棒的速度是v₁，根據(jù)動(dòng)量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₁-m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得：v₁=$\frac{5{v}_{0}}{4}$
2°當(dāng)ab棒的速度反向即向右時(shí)，設(shè)此時(shí)cd棒的速度是v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₁+m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得：v₂=$\frac{3{v}_{0}}{4}$
①對(duì)cd棒，由動(dòng)量定理得 F_安t=m△v
其中 F_安=BIL，I=$\frac{E}{2R}$，E=BL（v_cd-v_ab），q=It
代入兩種情況可得，當(dāng)v_ab=-$\frac{{v}_{0}}{4}$時(shí)，有 BLq₁=mv₀-m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得通過cd棒的電荷量為 q₁=$\frac{3m{v}_{0}}{4BL}$．
當(dāng)v_ab′=$\frac{{v}_{0}}{4}$時(shí)，有 BLq₂=mv₀+m$\frac{{v}_{0}}{4}$
解得通過cd棒的電荷量為 q₂=$\frac{5m{v}_{0}}{4BL}$
②由q=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BL△x}{2R}$
解得兩棒間的距離增大△x₁=$\frac{3m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
或△x₂=$\frac{5m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）從開始到最終穩(wěn)定的過程中回路總共產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{9}{4}$mv₀²；
（2）當(dāng)ab棒的速度大小變?yōu)?\frac{{v}_{0}}{4}$時(shí)，求：
①通過cd棒的電荷量q為$\frac{3m{v}_{0}}{4BL}$或$\frac{5m{v}_{0}}{4BL}$．
②兩棒間的距離增大了$\frac{3m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$或$\frac{5m{v}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題與非彈性碰撞，要抓住系統(tǒng)的合外力為零，遵守動(dòng)量守恒定律．要知道在電磁感應(yīng)中的電量往往根據(jù)動(dòng)量定理求解，焦耳熱往往根據(jù)能量守恒定律求解．