Question

【題目】地面上有一個(gè)半徑為 R 的圓形跑道，高為 h 的平臺(tái)邊緣上的 P 點(diǎn)在地面 上 P′點(diǎn)的正上方， P′與跑道圓心 O 的距離為 L（L>R），如圖所示。跑道上停有一輛小車， 現(xiàn)從 P 點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車中（沙袋所受空氣阻力不計(jì)）。問(wèn)：

（1）當(dāng)小車分別位于 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)時(shí)（∠AOB＝90° ），沙袋被拋出時(shí)的初速度各多大？

（2）若小車在跑道上運(yùn)動(dòng)，則沙袋被拋出時(shí)的初速度在什么范圍內(nèi) ？

（3）若小車沿跑道順時(shí)針運(yùn)動(dòng)（如圖中箭頭所示），當(dāng)小車恰好經(jīng)過(guò) A 點(diǎn)時(shí)，將沙袋 拋出，為使沙袋能在 B 處落入小車中，小車的速率v 應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）vA=（L-R）；（2）（L-R）≤v0≤（L+R）

（3）v=（4n+1）πR（n=0，1，2，3…）．

【解析】

試題分析：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的落地時(shí)間為t，則h=gt2

解得（1）

當(dāng)小車位于A點(diǎn)時(shí)，有xA=vAt=L-R（2）

解（1）（2）得vA=（L-R）

當(dāng)小車位于B點(diǎn)時(shí)，有（3）

解（1）（3）得

（2）若小車在跑道上運(yùn)動(dòng)，要使沙袋落入小車，最小的拋出速度為

v0min=vA=（L-R）（4）

若當(dāng)小車經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)沙袋剛好落入，拋出時(shí)的初速度最大，有xc=v0maxt=L+R （5）

解（1）（5）得 v0max=（L+R）

所以沙袋被拋出時(shí)的初速度范圍為（L-R）≤v0≤（L+R）

（3）要使沙袋能在B處落入小車中，小車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)與沙袋下落時(shí)間相同

tAB=（n+）（n=0，1，2，3…）（6）

所以tAB=t=

解得v=（4n+1）πR（n=0，1，2，3…）．