Question

如下圖甲所示，在以O為坐標(biāo)原點(diǎn)的xOy平面內(nèi)，存在著范圍足夠大的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。一個(gè)帶正電小球在0時(shí)刻以v₀＝3gt₀的初速度從O點(diǎn)沿+x方向（水平向右）射入該空間，在t₀時(shí)刻該空間同時(shí)加上如下圖乙所示的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，其中電場(chǎng)沿+y方向（豎直向上），場(chǎng)強(qiáng)大小，磁場(chǎng)垂直于xOy平面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。已知小球的質(zhì)量為m，帶電量為q，時(shí)間單位t₀，當(dāng)?shù)刂亓�加速�?i>g，空氣阻力不計(jì)。試求：

（1）12t₀末小球速度的大小。

（2）在給定的xOy坐標(biāo)系中，大體畫出小球在0到24t₀內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖。

（3）30t₀內(nèi)小球距x軸的最大距離。

Answer 1

（1）0~t₀內(nèi)，小球只受重力作用，做平拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)同時(shí)加上電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力：F₁=qE₀=mg，方向向上（1分）因?yàn)橹亓�和電�?chǎng)力恰好平衡，所以在電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)小球只受洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：（1分）

運(yùn)動(dòng)周期   （1分）

聯(lián)立解得T＝2t₀（1分）

電場(chǎng)、磁場(chǎng)同時(shí)存在的時(shí)間正好是小球做圓周運(yùn)動(dòng)周期的5倍，即在這10t₀內(nèi)，小球恰好做了5個(gè)完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。所以小球在t₁=12 t₀時(shí)刻的速度相當(dāng)于小球做平拋運(yùn)動(dòng)t＝2t₀時(shí)的末速度。

v_y1=g·2t₀=2gt₀（1分）所以12t₀末（1分）

（2）24t₀內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如右圖所示。（4分）

（3）分析可知，小球在30t₀時(shí)與24t₀時(shí)的位置相同，在24t₀內(nèi)小球做了t₂=3t₀的平拋運(yùn)動(dòng)，和半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)。

23t₀末小球平拋運(yùn)動(dòng)的豎直分位移大小為：

（2分）豎直分速度v_y2=3gt₀（1分）

所以小球與豎直方向的夾角為θ＝45°，速度大小為（2分）

此后小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑（1分）

30t₀末小球距x軸的最大距離：＝（2分）