Question

4．如圖所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，由支架豎直支立在水平地面上．環(huán)形細(xì)圓管的環(huán)形半徑為R（比細(xì)圓管的半徑大得多）．在環(huán)形細(xì)圓管中有A、B兩小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)A、B兩小球的質(zhì)量均為m，環(huán)形細(xì)圓管的質(zhì)量為2m，若A球以速率v₁運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰以速率v₂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，此刻支架對(duì)環(huán)形細(xì)圓管的支持力為mg．請(qǐng)導(dǎo)出v₁與v₂和R的關(guān)系式．

Answer 1

分析 若A球以速率v₁運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰以速率v₂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)支架對(duì)環(huán)形細(xì)圓管有支持力，說明B球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管道有向上的壓力，管道對(duì)B球有向下的壓力．根據(jù)牛頓第二定律分別對(duì)A、B球進(jìn)行列式，再結(jié)合細(xì)管力平衡求解．

解答 解：據(jù)題，A球以速率v₁運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰以速率v₂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)支架對(duì)環(huán)形細(xì)圓管有支持力，則知B球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管道有向上的壓力，則管道對(duì)B球有向下的壓力．
根據(jù)牛頓第二定律得：
對(duì)A球有：N_A-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
對(duì)B球有：mg+N_B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
據(jù)題分析有：N_A-N_B=mg
聯(lián)立解得 ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=gR
答：v₁與v₂和R的關(guān)系式為 ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=gR．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是確定B球所受的彈力方向，再確定向心力的來源，由牛頓第二定律解答．