Question

2．洛倫茲力演示儀可以演示電子在勻強磁場中的運動徑跡．圖甲為洛倫茲力演示儀實物圖，圖乙為結構示意圖．演示儀中有一對彼此平行的共軸串聯(lián)的圓形線圈（勵磁線圈），當通過勵磁線圈的電流為 I 時，線圈之間產(chǎn)生沿線圈軸向、磁感應強度 B=kI （k=1×10^-3T/A）的勻強磁場；半徑 R=80mm 的圓球形玻璃泡內有電子槍，可通過加速電壓 U 對初速度為零的電子加速并連續(xù)發(fā)射，電子剛好從球心 O 點正下方 40mm 處的 S 點沿水平向左射出．當勵磁線圈的電流 I=1A，加速電壓 U=160V 時，測得沿順時針方向運動的電子流徑跡直徑 D=80mm．試問：

（1）勵磁線圈的電流方向如何？為了使電子流徑跡的半徑增大，可采取哪些措施？
（2）由題中數(shù)據(jù)可求得電子的比荷$\frac{e}{m}$為多大？
（3）當勵磁線圈的電流 I=0.7A 時，為使電子流形成完整的圓周運動，求加速電壓的范圍．
（4）若電子槍的加速電壓可以在 0 到 250V 的范圍內連續(xù)調節(jié)，且勵磁線圈的電流從 0.5A 到 2A 的范圍內連續(xù)調節(jié)．求玻璃泡上被電子擊中范圍的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電子的徑跡，電子做勻速圓周運動，洛倫茲力方向指向圓心，由左手定則判斷勵磁線圈中的電流產(chǎn)生的磁場方向，然后由安培定則判斷勵磁線圈中電流的方向；
（2）由動能定理求出電子進入磁場時的速度，在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，聯(lián)立求出電子的比荷；
（3）由動能定理$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$和$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，聯(lián)立求出電壓表達式，代入數(shù)據(jù)求出加速電壓范圍；
（4）求出電子做圓周運動的軌道半徑，然后確定電子打在玻璃泡上的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)左手定則可知勵磁線圈的電流產(chǎn)生的磁場方向垂直紙面向里，由安培定則知勵磁線圈中電流方向為順時針方向
根據(jù)電子運動的半徑公式$R=\frac{mv}{qB}$，電子流徑跡半徑增大，可采取的措施是：增大電子速度（或增大電壓），減小磁感應強度（或減小電流）
（2）電子做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供圓周運動的向心力：$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
電子在電子槍中加速，根據(jù)動能定理：$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
聯(lián)立可以得到：$\frac{e}{m}=\frac{2U}{{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$
其中$B=kI=1×1{0}_{\;}^{-3}×1=1×1{0}_{\;}^{-3}T$，$r=\frac{D}{2}=40mm=0.04m$
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{e}{m}=\frac{2×160}{（1×1{0}_{\;}^{-3}）_{\;}^{2}×（0.04）_{\;}^{2}}=2×1{0}_{\;}^{11}C/kg$
（3）根據(jù)$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$和$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$可以得到：
$U=\frac{{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}e}{2m}$=$\frac{（0.7×1{0}_{\;}^{-3}）_{\;}^{2}×（0.04）_{\;}^{2}}{2}×2×1{0}_{\;}^{11}$=86.24V，故電壓范圍為0～86.24V
（4）由qvB=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，根據(jù)題意B=kI，聯(lián)立可解得：$r=\frac{\sqrt{\frac{2mU}{e}}}{kI}$，當電壓取250V電流取0.5A時，半徑最大，最大值r=10cm．此時電子達到C點，

在三角形OCO′中，由余弦定理：
$O′{C}_{\;}^{2}=O{C}_{\;}^{2}+OO{′}_{\;}^{2}+2OC•OO′cos∠COO′$
解得：$∠COO′=\frac{π}{2}$，當粒子的半徑比較小的時候，與圖中的D點相切，此時半徑為6cm．

電子打到玻璃泡上的范圍在CD之間長度為$\frac{πR}{2}=0.126m$
答：（1）勵磁線圈的電流方向如何？為了使電子流徑跡的半徑增大，可采取措施有：增大電子速度（或增大電壓），減小磁感應強度（或減小電流）
（2）由題中數(shù)據(jù)可求得電子的比荷$\frac{e}{m}$為$2×1{0}_{\;}^{11}C/kg$
（3）當勵磁線圈的電流 I=0.7A 時，為使電子流形成完整的圓周運動，加速電壓的范圍0～86.24V．
（4）若電子槍的加速電壓可以在 0 到 250V 的范圍內連續(xù)調節(jié)，且勵磁線圈的電流從 0.5A 到 2A 的范圍內連續(xù)調節(jié)．玻璃泡上被電子擊中范圍的長度0.126m

點評 本題考查了粒子在磁場中運動在實際生活中的應用，正確分析出儀器的原理是關鍵．要掌握粒子在磁場中運動問題的基本方法：定圓心、定半徑、畫軌跡．