Question

在水平光滑的絕緣桌面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，在虛線MON兩側(cè)區(qū)域分別稱為區(qū)域一和區(qū)域二，其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)，另一個(gè)區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直桌面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球P從坐標(biāo)為（-L，0）的A點(diǎn)處由靜止釋放后，沿x軸運(yùn)動(dòng)至坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，與另一與P球完全相同但不帶電的靜止小球Q發(fā)生碰撞并粘在一起，此后沿x軸正方向第一次經(jīng)y軸進(jìn)入?yún)^(qū)域二，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，從坐標(biāo)（-L，L）的C點(diǎn)回到區(qū)域一．若整個(gè)過(guò)程中，小球P帶電量保持不變且P、Q兩球可視為質(zhì)點(diǎn)．
（1）指出哪個(gè)區(qū)域是電場(chǎng)、哪個(gè)區(qū)域是磁場(chǎng)以及電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向；
（2）求電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（3）求小球P、Q第三次經(jīng)過(guò)y軸的位置．

Answer 1

分析：（1）帶電量為+q的小球P由A靜止釋放到O的運(yùn)動(dòng)可知區(qū)域一是電場(chǎng)，區(qū)域二為磁場(chǎng)；由運(yùn)動(dòng)方向可判斷電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向．
（2）帶電量為+q的小球在區(qū)域一中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求得到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度表達(dá)式；P、Q兩球碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律可求得碰后速度的表達(dá)式；
P、Q球在磁場(chǎng)中一起做速率為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求得速度，聯(lián)立即可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（3）小球P、Q從C點(diǎn)回到區(qū)域一再到第三次經(jīng)過(guò)y軸的過(guò)程中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直于電場(chǎng)的方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可求解．

解答：解：（1）區(qū)域一是方向與x軸正方向平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)；區(qū)域二是方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；                                   
（2）小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．         

小球P從A運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)與小球Q碰撞前，設(shè)其速度為v₀，由動(dòng)能定理有：qEL=

1

2

m

v

2 0

  ①
P、Q兩球碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律有：mv₀=2mv  ②
P、Q球在磁場(chǎng)中一起做速率為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知軌跡半徑：
   R=L  ③
由牛頓第二定律有：qvB=2m

v2

R

  ④
聯(lián)立①②③④式解得，v=

qBL

2m

，E=

qB2L

2m

  ⑤
（3）小球P、Q從C點(diǎn)回到區(qū)域一再到第三次經(jīng)過(guò)y軸的過(guò)程中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)此過(guò)程中小球P、Q未通過(guò)MON界線，沿y軸方向的位移為y，有：a=

qE

2m

  ⑥
  L=

1

2

at2  ⑦
  y=vt  ⑧
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧式解得：y=

2

L
即小球P、Q第三次經(jīng)過(guò)y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O下方的位置是：y1=-(

2

L-L)=(1-

2

)L
答：
（1）區(qū)域一是方向與x軸正方向平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)；區(qū)域二是方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；          
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

qB2L

2m

；
（3）小球P、Q第三次經(jīng)過(guò)y軸的位置為（1-

2

）L．

點(diǎn)評(píng)：粒子進(jìn)入有邊界的磁場(chǎng)，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問(wèn)題，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等．解決此類問(wèn)題常用的方法：畫圖→動(dòng)態(tài)分析→找軌跡．