Question

11．如圖所示，AB是與水平方向成θ=37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP為圓心角等于143°，半徑R=3m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，P、O兩點(diǎn)在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，另一端在斜面上C點(diǎn)處，現(xiàn)有一質(zhì)量m=4kg的物塊在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點(diǎn)后（不栓接）釋放，物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度為18m/s，$\overline{CD}$=2m，物塊與斜面CB部分之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，X_BC=9m，P處安裝一個(gè)豎直彈性薄擋板，小物塊與擋板碰撞后以原速率彈回，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．
（1）物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功；
（2）物塊第一次到達(dá)P點(diǎn)的速度；
（3）物塊第一次返回斜面后將彈簧壓縮至最短點(diǎn)E（E為DC的中點(diǎn)），則此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；
（4）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)可以有多少次通過(guò)CB之間的M點(diǎn)（M與C相距0.5m）

Answer 1

分析 （1）從D到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式求出彈簧對(duì)物塊所做的功；
（2）從C到P的過(guò)程的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解速度；
（3）根據(jù)第一問(wèn)的解析可知，在D點(diǎn)彈簧的彈性勢(shì)能，結(jié)合彈性勢(shì)能表達(dá)式${E}_{P}=\frac{1}{2}k△{x}^{2}$求解；
（4）由于只有BC段粗糙，所以只有在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)才有能量損失，求出每次損失的能量，根據(jù)功能關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）從D到C的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0={W}_{彈}-mg{x}_{CD}sin37°$
解得：W_彈=696J
（2）從C到P的過(guò)程的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=-μmgcos37°{x}_{BC}$-mg（x_BCsin37°+Rcos37°+R）
解得：${v}_{p}=\sqrt{37}m/s$
（3）根據(jù)第一問(wèn)的解析可知，在D點(diǎn)彈簧的彈性勢(shì)能為E_PD=W_彈=696J
根據(jù)${E}_{P}=\frac{1}{2}k△{x}^{2}$且E為DC的中點(diǎn)，可知，${E}_{PE}=\frac{1}{4}{E}_{PD}=174J$
（4）由于只有BC段粗糙，所以只有在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)才有能量損失，每次損失的能量△E=μmgcos37°x_BC=0.5×40×0.8×9=144J
物體在C點(diǎn)具有的初始能量E=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=628J$，
則物體從P點(diǎn)返回C點(diǎn)時(shí)，具有的能量E₁=628-2×144=340J，
再次向上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的能量E₂=E₁-△E=340-144=196J
再次回到C點(diǎn)的能量E₃=196-144=52J，
此后物體不能到達(dá)B點(diǎn)，
設(shè)能上升的高度為h，根據(jù)動(dòng)能定理得：
0-E₃=$-mgh-μmgcos37°\frac{h}{sin37°}$
解得：h=0.78m
而C點(diǎn)距離M點(diǎn)的高度h′=x_CMsin37°=0.5×0.6=0.3m＜0.78m
所以物體能通過(guò)M點(diǎn)，
由于mgsin37°＞μmgcos37°，所以物體還會(huì)滑下運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，
此后不能上升到M點(diǎn)，所以共經(jīng)過(guò)M點(diǎn)6次．
答：（1）物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功為696J；
（2）物塊第一次到達(dá)P點(diǎn)的速度為$\sqrt{37}m/s$；
（3）物塊第一次返回斜面后將彈簧壓縮至最短點(diǎn)E（E為DC的中點(diǎn)），則此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為174J；
（4）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)可以有6次通過(guò)CB之間的M點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理、彈性勢(shì)能表達(dá)式的直接應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析清楚物塊的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，注意幾何關(guān)系在解題中的應(yīng)用，難度較大．