Question

11．如圖所示，一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切與C點，且兩者固定不動，一長為L=1.25m的細(xì)繩，一端固定于O點，另一端系一個質(zhì)量m₁為0.4kg的小球，當(dāng)小球m₁在豎直方向靜止時，球?qū)λ�平桌面的作用力剛好為零，現(xiàn)將小球m₁提起使細(xì)繩處于水平位置時無初速度釋放，當(dāng)小球m₁擺至最低點時，細(xì)繩恰好被拉斷，此時小球m₁恰好與放在桌面上的質(zhì)量m₂為0.6kg的小球發(fā)生彈性正碰，m₂將沿半圓形軌道運動，兩小球均可視為質(zhì)點，取g=10m/s²，求：
（1）細(xì)繩所能承受的最大拉力是多大？
（2）m₂在半圓形軌道最低點C點的速度為多大？
（3）為了保證m₂在半圓形軌道中運動時不脫離軌道，試討論半圓形軌道的半徑R應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）球m₁擺至最低點的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出到最低點時的速度，由牛頓第二定律即可求出繩子的拉力；
（2）碰撞過程，根據(jù)動量守恒列式求碰后m₂的速度．
（3）m₂沿半圓形軌道運動可能有兩種情況：①．恰好能通過最高點，說明小球到達(dá)最高點時小球的重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球到達(dá)最高點點的速度，由機(jī)械能守恒定律可以求出半徑R應(yīng)該滿足的條件；
②．小球m₂不能到達(dá)最高點，則小球不脫離軌道時，恰好到達(dá)與O等高處，由機(jī)械能守恒定律可以求出半徑R應(yīng)該滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)小球擺至最低點時速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律，得：
${m}_{1}gL=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{0}}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
小球在最低點時，由牛頓第二定律，得：${F}_{T}-{m}_{1}g=\frac{{m}_{1}{v}_{0}^{2}}{L}$
解得：F_T=12N
（2）m₁與m₂發(fā)生彈性碰撞，動量與機(jī)械能守恒，設(shè)m₁、m₂碰后的速度分別為v₁、v₂，選向右的方向為正方向，則：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
由動能守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：v₂=4m/s
（3）①若小球恰好通過最高點D點，由牛頓第二定律，得：${m}_{2}g=\frac{{m}_{2}{v}_{D}^{2}}{{R}_{1}}$
m₂在CD軌道上運動時，由機(jī)械能守恒定律，得：$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}={m}_{2}g（2{R}_{1}）+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{D}}^{2}$
解得：R₁=0.32 m
②若小球恰好到達(dá)圓軌道與圓心等高處速度減為0，則有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}={m}_{2}g{R}_{2}$
解得：R₂=0.8 m
綜上：R應(yīng)該滿足R≤0.32 m或R≥0.8m
答：（1）細(xì)繩所能承受的最大拉力是12N；
（2）m₂在半圓形軌道最低點C點的速度為4m/s；
（3）為了保證m₂在半圓形軌道中運動時不脫離軌道，半圓形軌道的半徑R應(yīng)該滿足R≤0.32 m或R≥0.8m．

點評 本題主要考查了動量守恒、機(jī)械能守恒定律、向心力公式的應(yīng)用，要知道小球恰好通過最高點時，由重力提供向心力．