如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy決定的平面內(nèi)，有兩個(gè)同心圓，外側(cè)圓半徑為R1，內(nèi)側(cè)圓半徑為R2，圓心為O．兩圓之間的圓環(huán)內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面指向紙內(nèi)．在圓心O處有一質(zhì)子源，沿y軸負(fù)方向發(fā)射質(zhì)子流，質(zhì)子流中質(zhì)子的速度范圍為0～v．結(jié)果有的質(zhì)子從內(nèi)側(cè)圓離開(kāi)磁場(chǎng)，有的質(zhì)子從外側(cè)圓離開(kāi)磁場(chǎng)．已知質(zhì)子帶電量為e，質(zhì)量為m，不考慮質(zhì)子通過(guò)磁場(chǎng)后再進(jìn)入磁場(chǎng)的情況．
（1）求所有質(zhì)子通過(guò)的內(nèi)側(cè)圓的孤長(zhǎng)；
（2）質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．
分析：該題是屬于有邊界磁場(chǎng)的問(wèn)題，解決此題，首先要根據(jù)題意畫(huà)出質(zhì)子的軌跡圖，確定軌跡與外側(cè)圓相切時(shí)，軌跡的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，根據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)即可求出軌跡弧長(zhǎng)的最大值．由帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式T=
2πm
qB
可知，周期與運(yùn)動(dòng)半徑及速度沒(méi)有關(guān)系，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角有關(guān)，所以只要求出最大的圓心角，也就可以求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間了．
解答：解：（1）由題意可知，軌跡圓與外側(cè)圓相切時(shí)，對(duì)應(yīng)的質(zhì)子離開(kāi)內(nèi)側(cè)圓的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，設(shè)圓半徑為r，如圖所示，由幾何關(guān)系可得：
r2+
R
2
2
=(R1-r)2
tanθ=
r
R2

聯(lián)立以上兩式解得：
θ=arctan(
R
2
1
-
R
2
2
2R1R2
)
所以，所有質(zhì)子通過(guò)的內(nèi)側(cè)圓的弧長(zhǎng)：
L=2θ?R2
∴L=2R2arctan(
R
2
1
-
R
2
2
2R1R2
)
（2）質(zhì)子運(yùn)動(dòng)周期：
T=
2πm
eB

如圖所示，質(zhì)子從內(nèi)側(cè)圓離開(kāi)對(duì)應(yīng)的最大圓心角為：
α=2π-（π-2θ）=π+2θ
所以，質(zhì)子從內(nèi)側(cè)圓離開(kāi)的質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：
tmax=T?
α
2π
=m
π+2arctan(
R
2
1
-
R
2
2
2R1R2
)
eB
．
從外側(cè)圓離開(kāi)的質(zhì)子速度更大，弧長(zhǎng)更短，所以在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比tmax小，tmax即為質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．
答：（1）求所有質(zhì)子通過(guò)的內(nèi)側(cè)圓的孤長(zhǎng)為2R2arctan(
R
2
1
-
R
2
2
2R1R2
)．
（2）質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為m
π+2arctan(
R
2
1
-
R
2
2
2R1R2
)
eB
．
點(diǎn)評(píng)：該題考察了帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，可分為：粒子運(yùn)動(dòng)范圍的空間臨界問(wèn)題；磁場(chǎng)所占據(jù)范圍的空間臨界問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)電荷相遇的時(shí)空臨界問(wèn)題等．審題時(shí)應(yīng)注意恰好，最大、最多、至少等關(guān)鍵字．
解決此類(lèi)問(wèn)題，找圓心、畫(huà)軌跡是解題的基礎(chǔ)．帶電粒子垂直于磁場(chǎng)進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過(guò)的圓心角從而解答物理問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)平面的第I象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，直線OA是磁場(chǎng)右側(cè)的邊界．在第Ⅱ象限區(qū)域，存在電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，y軸是電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域的分界線曲線，OM滿足方程x=-ky2（k＞0）．有一帶電荷量為q、質(zhì)量為m的負(fù)粒子（重力不計(jì)）在曲線OM上某一點(diǎn)由靜止釋放，穿越y(tǒng)軸進(jìn)入磁場(chǎng)中．
（1）求帶電粒子穿越y(tǒng)軸時(shí)的速度與釋放點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式；
（2）若粒子從OM上任何位置釋放，要求粒子穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后，都垂直于x軸射出求直線OA與x軸的夾角正切值tanθ（用題中已知物理量的符號(hào)表示）

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

（2013?懷化二模）如圖所示，在直角坐標(biāo)xOy平面y軸左側(cè)（含y軸）有一沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從x軸上P處以速度ν0沿x軸正向進(jìn)入電場(chǎng)，從y軸上Q點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度變?yōu)?ν0，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-d），在y軸右側(cè)有一與坐標(biāo)平面垂直的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出，粒子過(guò)Q點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段距離后才進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域），磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=
mv0qd
，粒子能從坐標(biāo)為（0，d）的M點(diǎn)沿x軸負(fù)向再進(jìn)入電場(chǎng)．不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸負(fù)向的夾角θ和電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）繪出粒子P-M運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)至M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）求矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)xOy平面y軸左側(cè)（含y軸）有一沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從x軸上P處以速度v0沿x軸正向進(jìn)入電場(chǎng)，從y軸上Q點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸負(fù)向夾角θ=30°，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-d），在y軸右側(cè)有一與坐標(biāo)平面垂直的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=
mv0qd
，粒子能從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸負(fù)向再進(jìn)入電場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（2）如果有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榘雸A形，求磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；
（3）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的總時(shí)間．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直角坐標(biāo)xoy的第一象限中分布著指向－y軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限中分布著垂直紙面向里方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m、帶電＋q的粒子(不計(jì)重力)在A點(diǎn)(0，3)以初速V0＝120m/s平行x軸射入電場(chǎng)區(qū)域，然后從電場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入磁場(chǎng)，又從磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，并且只通過(guò)x軸上的P點(diǎn)(6，0)和Q點(diǎn)(8，0)各一次，已知該粒子的荷質(zhì)比為q/m＝108c/kg．

 (1)畫(huà)出帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡．

(2)求磁感強(qiáng)度B的大小．

 

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科目：高中物理 來(lái)源：2014屆陜西西安長(zhǎng)安區(qū)第一中學(xué)高三上第二次檢測(cè)物理試卷（解析版） 題型：計(jì)算題

（20分）如圖所示，在直角坐標(biāo)xOy平面y軸左側(cè)（含y軸）有一沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從x軸上P處以速度沿x軸正向進(jìn)入電場(chǎng)，從y軸上Q點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸負(fù)向夾角，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-d），在y軸右側(cè)有一與坐標(biāo)平面垂直的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出），磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，粒子能從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸負(fù)向再進(jìn)入電場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；

（2）如果有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榘雸A形，求磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；

（3）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的總時(shí)間．

 

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