Question

25.兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點O為原點，如圖所示。在y＞0，0＜x＜a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在y＞0，x＞a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在O點處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q(q＞0)的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值。已知速度最大的粒子在0＜x＜a的區(qū)域中運(yùn)動的時間與在x＞a的區(qū)域中運(yùn)動的時間之比為2：5，在磁場中運(yùn)動的總時間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中作圓周運(yùn)動的周期。試求兩個熒光屏上亮線的范圍（不計重力的影響）.

Answer 1

粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑為

  ①

速度小的粒子將在x＜a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a，屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。

軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點相切（虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。

速度最大的粒子的軌跡如圖中實線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C′，C在y軸上，由對稱性可知C′在x=2a直線上。

設(shè)t₁為粒子在0＜x＜a的區(qū)域中運(yùn)動的時間，t₂為在x＞a的區(qū)域中運(yùn)動的時間，由題意可知

由此解得

   ②

  ③

由②、③式和對稱性可得

∠OCM=60°  ④

∠MC′N=60°  ⑤

  ⑥

所以

∠NC′P=150°-60°=90°  ⑦

即為1/4圓周。因此，圓心C′在x軸上。

設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R，由直角△COC′可得

  ⑧

由圖可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)

 ⑨