Question

如圖（一）所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一絕緣軌道由兩段直桿和一半徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)．直桿MN、PQ水平且足夠長(zhǎng)，MNAP段是光滑的（其中A點(diǎn)是半圓環(huán)的中點(diǎn)），PQ段是粗糙的．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電+q的小環(huán)甲（可視為質(zhì)點(diǎn)）套在MN桿上，它所受電場(chǎng)力為其重力的0.5倍．

（1）將小環(huán)甲從N點(diǎn)左側(cè)8R處由靜止開(kāi)始釋放，如圖（一），且知小環(huán)甲與直桿PQ間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ＞0.5，且最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等），求小環(huán)甲在水平桿PQ上通過(guò)的路程．
（2）若另一質(zhì)量也為m、不帶電的絕緣小環(huán)乙（視為質(zhì)點(diǎn)）套在MN桿上的N點(diǎn)，如圖（二），現(xiàn)從NM桿上的D點(diǎn)由靜止釋放小環(huán)甲，小環(huán)甲此后與乙碰撞時(shí)間極短，且碰后瞬間兩者速度相同但不粘連，乙環(huán)沿NAP運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)剛好停止，求DN間的距離x₀．

Answer 1

分析：（1）由于小環(huán)與PQ間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＞0.5，所以小環(huán)最終速度為零，應(yīng)用能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律，可求解．
（2）由動(dòng)能定律表示出碰撞前甲的速度，碰撞后對(duì)AB游動(dòng)量守恒、動(dòng)能定理列式，最后乙剛好到達(dá)P點(diǎn)，對(duì)乙應(yīng)用機(jī)械能守恒，聯(lián)立可求解．

解答：解：（1）因?yàn)棣蹋?.5，甲在PQ上運(yùn)動(dòng)s停下時(shí)，由于電場(chǎng)力小于摩擦力，將不再運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理：qE?8R-mg?2R-qE?s-?μmgs=0
得：s=

2R

0.5+μ

=

4R

1+2μ

（2）甲、乙在N點(diǎn)碰撞前，設(shè)甲的速度為v，甲從D點(diǎn)到N點(diǎn)，由動(dòng)能守理有：qEx0=

1

2

mv2
設(shè)甲、乙在N點(diǎn)碰撞后的速度為v_N，由動(dòng)量守恒守律有：
mv=2mv_N
甲、乙整體從N點(diǎn)到A點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：-2mgR+qER=

1

2

?2m?

v

2 A

-

1

2

?2m?

v

2 N

碰后甲乙共同運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)分離，由乙剛好能達(dá)到P點(diǎn)，從A到P，對(duì)乙由機(jī)械能守恒定律：mgR=

1

2

m

v

2 A

由已知  qE=0.5mg
聯(lián)立以上各式得：x₀=14R
答：（1）小環(huán)甲在水平桿PQ上通過(guò)的路程是

4R

1+2μ

．
（2）DN間的距離為14R．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用動(dòng)能定理解題需合適地選取研究的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒，列出表達(dá)式求解．