Question

8．如圖甲所示是游樂場中過山車的實物圖片，可將過山車的一部分運動簡化為圖乙的模型圖，模型圖中半徑為r的光滑圓形軌道固定在傾角為α的斜軌道面上，并與斜軌道圓滑相接于B點，圓形軌道的最高點C與A點平齊．現(xiàn)使小車（可視為質點）以一定的初速度從A點開始沿斜面向下運動，已知斜軌道面與小車間的動摩擦力為kmg，不計空氣阻力，小車恰好能通過圓形軌道的最高點C處，求：
（1）小車在A點的初速度大��；
（2）小車在圓形軌道的最低點D時對軌道的壓力大�。�

Answer 1

分析 （1）小車恰好能通過圓形軌道的最高點C處，軌道對小車的彈力為零，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據牛頓第二定律求出小車在C點的速度．再由動能定理求小車在A點的初速度．
（2）根據動能定理或機械能守恒求出小車在軌道D點時的速度，再運用牛頓第二定律，通過支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛頓第三定律得到壓力．

解答 解：（1）由于小車恰能通過C點，由重力提供小車圓周運動所需要的向心力，根據牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$…①
小車由A→C，由動能定理得：
-kmgL_AB=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$…②
由幾何知識得：
L_AB=$\frac{1+cosθ}{sinθ}$r…③
聯(lián)立①②③三式解得：
v_A=$\sqrt{gr+2kgr\frac{1+cosθ}{sinθ}}$…④
（2）小車由D→C，由機械能守恒定律得：
 2mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$…⑤
在D點，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$…⑥
聯(lián)立⑤⑥兩式解得：N=6mg
由牛頓第三定律知小車在最低點對軌道的壓力為：N′=N=6mg…⑦
答：
（1）小車在A點的初速度大小是$\sqrt{gr+2kgr\frac{1+cosθ}{sinθ}}$；
（2）小車在圓形軌道的最低點D時對軌道的壓力大小是6mg．

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律和動能定理，關鍵是理清運動的過程，運用合適的規(guī)律進行求解．