Question

19．如圖（a）所示，水平放置的平行金屬板AB間的距離d=0.1m，板長(zhǎng)L=0.3m，在金屬板的左端豎直放置一帶有小孔的擋板，小孔恰好位于AB板的正中間，距金屬板右端x=0.5m處豎直放置一足夠大的熒光屏，現(xiàn)在AB板間加如圖（b）所示的方波形電壓，已知U₀=1.0×10²V，在擋板的左側(cè)，有大量帶正電的相同粒子以平行于金屬板方向的速度持續(xù)射向擋板，粒子的質(zhì)量m=1.0×10^-7kg，電荷量q=1.0×10^-2C，速度大小均為v₀=1.0×10⁴m/s，帶電粒子的重力不計(jì)，則：

（1）求電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）求在t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子打在熒光屏上的位置到O點(diǎn)的距離；
（3）若撤去擋板，求熒光屏上出現(xiàn)的光帶長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，求出電子通過(guò)電場(chǎng)的時(shí)間．
（2）在t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，豎直方向上先作勻加速直線運(yùn)動(dòng)2×10^-5s，再作勻減速直線運(yùn)動(dòng)1×10^-5s，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，由速度公式v=at求出粒子射出電場(chǎng)時(shí)豎直方向的速度．由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移時(shí)間公式求出粒子離開電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)的豎直位移．粒子離開電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，也運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解偏轉(zhuǎn)的豎直位移，即可得到粒子打在熒光屏上的位置到O點(diǎn)的距離；
（3）由b圖可知，粒子在豎直方向加速和減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之差等于交變電壓的周期的$\frac{1}{3}$，由公式v_y=at求解粒子離開電場(chǎng)時(shí)的豎直分速度．所有粒子飛出時(shí)的速度均相同，重點(diǎn)研究2×10^-5s來(lái)打入的一個(gè)粒子，若其恰好能不碰下極板，即可由幾何知識(shí)和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解熒光屏上出現(xiàn)的光帶長(zhǎng)度．

解答 解：（1）粒子水平方向速度不變，作勻速直線運(yùn)動(dòng)，
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{0.3}{1.0×1{0}^{4}}$s=3×10^-5s，
（2）0時(shí)刻進(jìn)入的粒子豎直方向上先作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，用時(shí)t₁=2×10^-5s，再作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，用時(shí)t₂=1×10^-5s，加速度大小相等，為：
  a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$=$\frac{1×1{0}^{-2}×1×1{0}^{2}}{1×1{0}^{-7}×0.1}$m/s²=10⁸m/s²，
射出電場(chǎng)時(shí)，豎直分速度為：
    v_y=at₁-at₂=10⁸×（2×10^-5-1×10^-5）m/s=10³m/s，
因?yàn)閠₁=2t₂，可將整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分成三個(gè)t₂，根據(jù)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的推論可知，在三個(gè)t₂內(nèi)粒子豎直分位移分別為：y₁=$\frac{1}{2}$at₂²，y₂=3×$\frac{1}{2}$at₂²，y₃=3×$\frac{1}{2}$at₂²，所以射出電場(chǎng)時(shí)，豎直分位移為：
    Y′=（1+3+3）•$\frac{1}{2}$at₂²=7×$\frac{1}{2}×1{0}^{8}×（1×1{0}^{-5}）^{2}$m=0.035m
依據(jù)比例可得：Y=Y′+$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$x=0.035+0.05=0.085（m）
（3）粒子離開電場(chǎng)時(shí)豎直分速度為：v_y=a（t_正-t_負(fù)），式中t_正為粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)正向電壓（上極板為U₀）的持續(xù)時(shí)間．t_負(fù)為粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)負(fù)向電壓（下極板為U₀）的持續(xù)時(shí)間，（t_正-t_負(fù)）恰好等于交變電壓的周期的$\frac{1}{3}$，
故v_y=a•$\frac{1}{3}$T=10⁸m/s²×$\frac{1}{3}×3×1{0}^{-5}$m/s=1000m/s，
又所有粒子打入時(shí)的水平速度均為v₀=1.0×10⁴m/s，且水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以所有粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度均為v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=1000$\sqrt{101}$m/s，方向與水平成arccot10度角．可知粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度均相同．
研究2×10^-5s來(lái)打入的一個(gè)粒子，若其恰好能不碰下極板（如圖），所以光帶長(zhǎng)度為 l=d-$\frac{1}{2}$at₂²=0.095m
答：
（1）電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3×10^-5s；
（2）在t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子打在熒光屏上的位置到O點(diǎn)的距離為0.085m；
（3）熒光屏上出現(xiàn)的光帶長(zhǎng)度為0.095m．

點(diǎn)評(píng) 解決在偏轉(zhuǎn)場(chǎng)中問(wèn)題，通常由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解，要能熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法研究，分析時(shí)要充分運(yùn)用勻加速運(yùn)動(dòng)位移的比例關(guān)系和運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，來(lái)求解豎直分位移．