Question

勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，豎直放置在水平地面上，其上端固定有質(zhì)量為M的鋼板，處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖18（甲）所示.現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球從距鋼板H的高處自由下落并與之發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短且無機(jī)械能損失.已知M=3m,彈簧振子的周期T=2πM/k.

（甲）

（乙）

圖18

（1）求小球與鋼板第一次碰撞后瞬間，小球的速度v₁和鋼板的速度v₂.

（2）要使小球與鋼板每次都在同一高度（即鋼板的初始位置）相碰，求鋼板質(zhì)量的最大值.?

（3）以小球開始自由下落的瞬間為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，以向下為正方向，以的值作為1個時(shí)間單位（v₀為小球第一次剛落到鋼板瞬間的速度值）.試在圖18（乙）中畫出小球的v-t 圖線.（要求至少畫出小球與鋼板發(fā)生第三次碰撞前的圖線）

Answer 1

(1)方向向上，方向向下?

(2)M=

(3)見解析?

解析：(1)設(shè)小球落至鋼板時(shí)速度為v₀，已知M=3m，

由機(jī)械能守恒定律得?

mgH=mv₀²/2?

碰撞過程中動量守恒　mv₀=mv₁+Mv₂?

機(jī)械能無損失　mv₁²/2+Mv₂²/2=mv₀²/2?

聯(lián)立求解得　v₀=2gH?

小球的速度　v₁=-v₀/2=-2gH/2，負(fù)號表示方向向上?

鋼板的速度　v₂=v₀/2=2gH/2，方向豎直向下.?

(2)由(1)可知，碰撞后小球做豎直上拋運(yùn)動，鋼板(連同彈簧)以v₂/2向下做簡諧運(yùn)動，要使m與M第二次碰撞仍發(fā)生在原位置，則小球重新落回到O處所用的時(shí)間應(yīng)滿足t=nT+T/2?

當(dāng)M取最大值時(shí)，有　t=T/2?

小球做豎直上拋運(yùn)動，有　t=v₀/g?

已知　T=2π　聯(lián)立求解得　

(3)小球與鋼板的第二次碰撞應(yīng)滿足mv₀/2-Mv₀/2=mv₃+Mv₄，m(v₀/2)²/2+M(v₀/2)²/2=mv₃²/2+Mv₄²/2?

解得，v₃=-v₀，方向豎直向上；v₄=0；?

當(dāng)小球再次落回與鋼板發(fā)生第三次碰撞時(shí)，第三次碰撞是第一次碰撞的重復(fù)，此后過程將周而復(fù)始地進(jìn)行.?

小球的vt圖線如圖所示.?