Question

如圖示，平行傾斜導(dǎo)軌與水平導(dǎo)軌平滑連接，兩導(dǎo)軌光滑且電阻不計(jì)．水平部分有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過，B=2.0T，導(dǎo)軌間距L=0.5m，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量為m₁=1kg，電阻為R₁=0.2Ω，靜止于水平導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒cd的質(zhì)量為m₂=2kg，電阻為R₂=0.3Ω，從高h(yuǎn)=0.45m的傾斜導(dǎo)軌上由靜止滑下．求：
（1）cd棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)ab棒的加速度；
（2）若cd棒不與ab棒相碰撞，且導(dǎo)軌足夠長，ab，cd兩棒的最終速度分別是多少；
（3）整個(gè)過程中，在ab，cd棒上產(chǎn)生的熱量各為多少．

Answer 1

分析：（1）cd棒沿光滑導(dǎo)軌下滑的過程中，機(jī)械能守恒，可求出cd棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀．進(jìn)入磁場(chǎng)后，cd棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到安培力，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式及牛頓第二定律求出加速度a．
（2）分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況：cd棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到向左的安培力作用而做減速運(yùn)動(dòng)，ab棒由于受到向右的安培力作用而向右做加速運(yùn)動(dòng)，隨著ab棒向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小，感應(yīng)電流減小，兩棒所受的安培力減小，當(dāng)兩棒的速度相等時(shí)，回路中沒有感應(yīng)電流，兩棒不再受到安培力而均做勻速運(yùn)動(dòng)．對(duì)于兩棒組成的系統(tǒng)，合外力為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解最終兩棒的共同速度v．
（3）根據(jù)能量守恒定律求解回路中產(chǎn)生的總熱量，由焦耳定律得到兩棒上發(fā)出的熱量．

解答：解：（1）cd棒在斜導(dǎo)軌下滑的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒得：
mgh=

1

2

m

v

2 0

解得：v₀=

2gh

=

2×10×0.45

=3m/s
進(jìn)入磁場(chǎng)后，cd棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv₀，感應(yīng)電流為：
I=

E

R1+R2

=

BLv0

R1+R2

=

2×0.5×3

0.2+0.3

=6A，
AB所受的安培力大小為：
F=BIL=2×6×0.5N=6N
AB棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的加速度為：a₀=

F

m

=

6

1

=6m/s²．
（2）cd棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，cd和ab組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則有：
m₁v₀=（m₁+m₂）v
得：v=2m/s
（3）根據(jù)能量守恒定律得：
mgh=Q+

1

2

(m1+m2)v2
解得：Q=3J
由焦耳定律Q=I²Rt得知ab棒上發(fā)出的熱量為：
Q₁=

R1

R1+R2

Q=

0.2

0.2+0.3

×3J=1.2J
則cd棒上發(fā)出的熱量為：
Q₂=Q-Q₁=1.8J
答：（1）AB棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v₀為3m/s．加速度a₀是6m/s²．
（2）若AB不與CD相碰撞，導(dǎo)軌足夠長，最CD的速度v是2m/s．
（3）整個(gè)過程中，在ab棒上發(fā)出的熱量為1.2J，cd棒發(fā)出熱量為1.8J．

點(diǎn)評(píng)：本題雙桿在軌道上滑動(dòng)的類型，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒研究，類似于非彈性碰撞．