Question

12．兩塊足夠大的平行金屬板水平放置，板間加有分布均勻且隨時間周期性變化的電場和磁場，變化規(guī)律如圖甲、乙所示，規(guī)定垂直紙面向里為磁感應強度的正方向，當t=0時由負極板釋放一個初速為零的帶負電粒子（不計重力）．已知，電場強度E₀、磁感應強度B₀、粒子的比荷$\frac{q}{m}$，且t₀=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，兩板間距h=$\frac{10{π}^{2}m{E}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}$．試求：
（1）粒子在0-t₀時間內(nèi)位移的大小與極板間距h的比值
（2）粒子在板間做圓周運動的最大半徑（用h表示）

Answer 1

分析 （1）此題中電場和磁場不是同時存在的，要分別對小球在電場力和磁場力作用下的運動進行分析，只在電場力作用時，粒子做勻加速直線運動，在只有洛倫茲力作用時，粒子做勻速圓周運動．在0～t₀時間，只有電場力，粒子做勻加速運動，可運用運動學公式和牛頓第二定律進行求解．
（2）最大半徑受到兩板之間的距離的影響，首先對其運動軌跡進行分析，結(jié)合板間距離，可分析出粒子能做幾個完整的圓周運動，從而得知做圓周運動的最大半徑．

解答 解：（1）設(shè)粒子在0～t₀時間內(nèi)運動的位移大小為s₁．由運動學公式和牛頓第二定律有：
   s₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
   a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$
又已知  t₀=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，兩板間距h=$\frac{10{π}^{2}m{E}_{0}}{q{B}_{0}^{2}}$．  
聯(lián)立以上各式解得     $\frac{{s}_{1}}{h}$=$\frac{1}{5}$
（2）粒子在t₀～2t₀時間內(nèi)只受洛倫茲力．且速度與磁場方向垂直，所以粒子做勻速圓周運動．設(shè)運動速率為v₁，軌道半徑為R₁，周期為T，則
   v₁=at₀，qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
聯(lián)立以上二式得   R₁=$\frac{h}{5π}$
又  T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
即粒子在t₀～2t₀時間內(nèi)恰好完成一個周期的圓周運動．在2t₀～3t₀時間內(nèi)，粒子做初速為v₁的勻加速直線運動，設(shè)位移大小為s₂
則  s₂=v₁t₀+$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
解得   s₂=$\frac{3}{5}$h
由于（s₁+s₂）＜h，所以粒子在3t₀～4t₀時間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運動，
設(shè)速率為v₂，半徑為R₂．  
則  v₂=v₁+at₀
  qv₂B₀=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
則 R₂=$\frac{2h}{5π}$
由于（s₁+s₂十R₂）＜h，粒子恰好又完成一個周期的圓周運動．
在4t₀～5t₀時間內(nèi)，粒子運動到正極板 （如圖所示）．
因此，粒子運動的最大半徑  R₂=$\frac{2h}{5π}$．
答：
（1）粒子在0-t₀時間內(nèi)位移的大小與極板間距h的比值是$\frac{1}{5}$．
（2）粒子在板間做圓周運動的最大半徑是$\frac{2h}{5π}$．

點評 帶電粒子在電場、磁場和重力場等共存的復合場中的運動問題，其受力情況和運動圖景都比較復雜，但其本質(zhì)是力學問題，應按力學的基本思路，分析受力情況和運動情況，運用力學的基本規(guī)律研究和解決此類問題．