Question

2．如圖所示，在磁感強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一個(gè)半徑r=0.5m的金屬圓環(huán)，圓環(huán)所在的平面與磁感線垂直．．OA是一個(gè)金屬棒，它沿著順時(shí)針方向以恒定的角速度繞圓心O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A端始終與圓環(huán)相接觸，OA棒的電阻R=0.1Ω，圖中定值電阻R₁=100Ω，R₂=4.9Ω，電容器C上標(biāo)有“10V、100pF”．圓環(huán)和連接導(dǎo)線的電阻忽略不計(jì)
求：（1）要使電路正常，不發(fā)生意外，則金屬棒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的值不能超過多少？電容器哪個(gè)極板帶正電？
（2）金屬棒在以最大角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中突然停止不動(dòng)，則此后通過R₂的電量是多少？
（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)角速度最大的情況下，電路中消耗的電功率是多大？

Answer 1

分析 本題（1）的關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒以一端為軸做旋轉(zhuǎn)切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的求法，為E=$\frac{B{L}^{2}ω}{2}$，然后根據(jù)電路圖求出總電流和電容器兩端的電壓即可，再根據(jù)右手定則判定電容器兩板電勢(shì)的高低；題（2）中結(jié)合電路特點(diǎn)，利用電容器充放電知識(shí)求解．（3）的關(guān)鍵是明確電路中消耗的電功率的含義是P_總=EI．

解答 解：（l）畫出等效電路圖，如圖所示，

電路中發(fā)生意外的只能是電容器．導(dǎo)體棒OA在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，如果轉(zhuǎn)速太大時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)較大，電容器兩端的電壓超過電容器的耐壓值就會(huì)將電容器擊穿．
電容器兩端的電壓等于電阻R₂兩端的電壓，此時(shí)電源的電動(dòng)勢(shì)為E  $\frac{{{U_{R_2}}}}{R_2}=\frac{E}{{R+{R_2}}}$

$E=\frac{{（R+{R_2}）{U_{R_2}}}}{R_2}=\frac{（4.9+0.1）×10}{4.9}=\frac{500}{49}V$
金屬棒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E$E=BL\overline{v}$，$\overline{v}=\frac{r}{2}ω$，所以：$E=\frac{1}{2}B{r}^{2}ω$，
聯(lián)立上面各式可得  $ω=\frac{2E}{{B{r^2}}}=\frac{{2×\frac{500}{49}}}{{2×0．{5^2}}}=40.8rad/s$
即金屬棒的角速度不能超過40.8rad/s     
根據(jù)右手定則，感應(yīng)電流的方向由O→A，但導(dǎo)體棒切割磁感線相當(dāng)于電源，在電源內(nèi)部電流從電勢(shì)低處流向電勢(shì)高處．故A點(diǎn)電勢(shì)高于O點(diǎn)電勢(shì)．又由于電容器上板與A點(diǎn)相接即為正極，所以電容器的上極板帶正電．
（2）當(dāng)金屬棒以最大的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，
電容器的帶電量為Q=CU=10×100×10^-12=10^-9C
當(dāng)金屬棒停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電容器相當(dāng)于電源，電容器放電．
Q₁和Q₂分別表示通過R和R₂的電量，根據(jù)并聯(lián)電路特點(diǎn)得：${Q}_{1}=\frac{{R}_{2}}{R}{Q}_{2}$，又Q₁+Q₂=Q，得；${Q}_{2}=\frac{1}{50}Q=\frac{1}{50}×1{0}^{-9}=2×1{0}^{-11}C$
即通過R₂的電量為2×10^-11C
（3）電路中消耗的電功率${P_消}=\frac{E^2}{{R+{R_2}}}=\frac{{{{（{\frac{500}{49}}）}^2}}}{0.1+4.9}=20.8W$
答：（1）金屬棒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的值不能超過40.8rad/s，電容器上極板帶正電．
（2）通過R₂的電量是2×10^-11C；
（3）電路中消耗的電功率是20.8W

點(diǎn)評(píng) 熟記導(dǎo)體棒以一端為軸做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式為E=$\frac{B{L}^{2}ω}{2}$，結(jié)合電路特點(diǎn)求解即可．