Question

15．水平地面上方空間存在著范圍足夠大的水平勻強電場，一個光滑絕緣的部分圓周軌道豎直固定在某位置，如圖所示，圓周平面與電場方向平行，AB為直徑，與豎直方向的夾角θ=45°，圓周軌道內有一個質量為m帶電量為+q的小球在A點處于靜止狀態(tài)．若給小球一個初速度，使小球在豎直平面內做逆時針圓周運動，經過B點時離開圓周軌道，飛行一段時間后垂直打在地面上．已知圓周軌道半徑為R．圓心O到地面的距離為$\sqrt{2}$R．
（1）求電場強度的大小和方向．
（2）求小球脫離軌道B點后直至落地所用的時間．
（3）小球出發(fā)時在A點對軌道造成的壓力是多大．

Answer 1

分析 （1）對小球進行受力分析，結合在A點的受力平衡即可求出電場力的大小與方向，結合電場力的方向判斷出電場的方向；
（2）將小球離開B點后的速度與運動分解，結合運動學的公式即可求出時間；
（3）根據A到B的過程中重力與電場力做功，由動能定理求出小球在A點的速度，結合牛頓第二定律和向心力的公式即可求出．

解答 解：（1）如圖，對小球進行受力分析可知，小球所受電場力方向水平向右，因為小球帶正電，所以電場的方向水平向右
電場強度的大小：E=$\frac{mgtan45°}{q}$=$\frac{mg}{q}$…①

（2）設小球脫離軌道B點后直至落地所用的時間t，小球脫離B點時的速度為V_B，水平方向加速度大小為：a=$\frac{qE}{m}=\frac{mg}{m}=g$…②

如圖所示，水平向左做勻減速運動，接觸地面時水平速度為0，所以：
v_Bcosθ=gt…③
豎直方向做勻加速運動：$\sqrt{2}R+\frac{\sqrt{2}}{2}R={v}_{B}cosθ•t+\frac{1}{2}g{t}^{2}$…④
由③④聯(lián)立解得：$t=\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$…⑤
（3）設小球在A點的速度大小為v_A，電場力與重力合力的大小為：${F}_{合}=\sqrt{2}mg$
小球從A運動到B的過程中，軌道彈力不做功，對小球從A出發(fā)到B脫離軌道的過程應用動能定理：
$-{F}_{合}•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$…⑥
設小球在位置A時受到軌道支持力大小為F_N，在A點對小球應用牛頓第二定律：${F}_{N}-\sqrt{2}mg=\frac{m{v}_{A}^{2}}{R}$…⑦
由牛頓第三定律，小球對軌道的壓力大小等于軌道對小球的支持力，聯(lián)系（1）、（2）及⑥⑦式關系得：
${F}_{N}′={F}_{N}=7\sqrt{2}mg$
答：（1）電場強度的大小是$\frac{mg}{q}$，方向水平向右．
（2）小球脫離軌道B點后直至落地所用的時間是$\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}}$．
（3）小球出發(fā)時在A點對軌道造成的壓力是$7\sqrt{2}mg$．

點評 本題考查帶電粒子在電場和重力場復合場中的運動，靈活運用動能定理和牛頓第二定律相結合研究，可用類比的方法理解：A點相當于重力場中豎直平面內圓周運動的最低點．