Question

2．質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的B點(diǎn)和A點(diǎn)，輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可帶動(dòng)小球一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，已知繩a與水平方向成θ角，繩b在水平面內(nèi)，繩b長(zhǎng)為l且能承受的最大拉力為T(mén)，重力加速度為g，求保證小球在圖示位置做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，輕桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿足的條件．

Answer 1

分析 當(dāng)角速度為最小值時(shí)，繩b的拉力為零，小球靠a繩的拉力和重力提供向心力，當(dāng)角速度最大時(shí)，繩b達(dá)到最大拉力，小球靠重力、繩子a、b拉力的合力提供向心力，抓住豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．

解答 解：當(dāng)角速度為最小值時(shí)，繩b的拉力為零，小球靠a繩的拉力和重力提供向心力，
根據(jù)牛頓第二定律得，$mgcotθ=ml{{ω}_{1}}^{2}$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{gcotθ}{l}}$，
當(dāng)角速度最大時(shí)，繩b達(dá)到最大拉力，小球靠重力、繩子a、b拉力的合力提供向心力，
在豎直方向上有：T_asinθ=mg，
水平方向上有：${T}_{a}cosθ+T=ml{{ω}_{2}}^{2}$，
聯(lián)立解得ω₂=$\sqrt{\frac{mgcotθ+T}{ml}}$．
則角速度滿足的條件是$\sqrt{\frac{gcotθ}{l}}≤ω＜\sqrt{\frac{mgcotθ+T}{ml}}$．
答：輕桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿足的條件為$\sqrt{\frac{gcotθ}{l}}≤ω＜\sqrt{\frac{mgcotθ+T}{ml}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源分析，知道小球豎直方向合力為零，這是解決本題的關(guān)鍵．