Question

（2009?重慶）如圖，離子源A產(chǎn)生的初速為零、帶電量均為e、質(zhì)量不同的正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后勻速通過(guò)準(zhǔn)直管，垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后通過(guò)極板HM上的小孔S離開(kāi)電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直于邊界MN進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．已知HO=d，HS=2d，∠MNQ=90°．（忽略粒子所受重力）
（1）求偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀的大小以及HM與MN的夾角φ；
（2）求質(zhì)量為m的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（3）若質(zhì)量為4m的離子垂直打在NQ的中點(diǎn)S₁處，質(zhì)量為16m的離子打在S₂處．求S₁和S₂之間的距離以及能打在NQ上的正離子的質(zhì)量范圍．

Answer 1

分析：（1）正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后的速度可以通過(guò)動(dòng)能定理求出，而正離子垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，最終過(guò)極板HM上的小孔S離開(kāi)電場(chǎng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的公式及幾何關(guān)系即可求出電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀，φ可以通過(guò)末速度沿場(chǎng)強(qiáng)方向和垂直電場(chǎng)方向的速度比求得正切值求解；
（2）正離子進(jìn)入磁場(chǎng)后在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求得半徑；
（3）根據(jù)離子垂直打在NQ的位置及向心力公式分別求出運(yùn)動(dòng)的半徑R₁、R₂，再根據(jù)幾何關(guān)系求出S₁和S₂之間的距離，能打在NQ上的臨界條件是，半徑最大時(shí)打在Q上，最小時(shí)打在N點(diǎn)上，根據(jù)向心力公式和幾何關(guān)系即可求出正離子的質(zhì)量范圍．

解答：解：（1）正離子被電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后速度設(shè)為V₁，則
對(duì)正離子，應(yīng)用動(dòng)能定理有eU₀=

1

2

mV₁²，
正離子垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
受到電場(chǎng)力F=qE₀、產(chǎn)生的加速度為a=

F

m

，即a=

qE0

m

，
垂直電場(chǎng)方向勻速運(yùn)動(dòng)，有2d=V₁t，
沿場(chǎng)強(qiáng)方向：Y=

1

2

at²，
聯(lián)立解得E₀=

U0

d

又tanφ=

V1

at

，解得φ=45°；
（2）正離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為V₂，
解得V₂=

V12+(at)2

正離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，qV₂B=

mV22

R

，
解得離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=2

mU0 eB2

；
（3）根據(jù)R=2

mU0 eB2

可知，
質(zhì)量為4m的離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)打在S₁，運(yùn)動(dòng)半徑為R₁=2

(4m)U0 eB2

，
質(zhì)量為16m的離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)打在S₂，運(yùn)動(dòng)半徑為R₂=2

(16m)U0 eB2

，
又ON=R₂-R₁，
由幾何關(guān)系可知S₁和S₂之間的距離△S=

R22-ON2

-R₁，
聯(lián)立解得△S=4（

3

-1）

mU0 eB2

；
由R′²=（2 R₁）²+（ R′-R₁）²解得R′=

5

2

R₁，
再根據(jù)

1

2

R₁＜R＜

5

2

R₁，
解得m＜m_x＜25m．
答：（1）偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E₀的大小為

U0

d

，HM與MN的夾角φ為45°；（2）質(zhì)量為m的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為2

mU0 eB2

；
    （3）S₁和S₂之間的距離為4（

3

-1）

mU0 eB2

，能打在NQ上的正離子的質(zhì)量范圍為m＜m_x＜25m．

點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問(wèn)考查了帶電粒子在電場(chǎng)中加速和偏轉(zhuǎn)的知識(shí)（即電偏轉(zhuǎn)問(wèn)題），加速過(guò)程用動(dòng)能定理求解，偏轉(zhuǎn)過(guò)程用運(yùn)動(dòng)的合成與分解知識(shí)結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；第（2）問(wèn)考查磁偏轉(zhuǎn)知識(shí)，先求進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的合速度v，再由洛倫茲力提供向心力求解R；第（3）問(wèn)考查用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力．該題綜合性強(qiáng)，難度大．