Question

20．如圖所示，繩長(zhǎng)為I的輕繩一端連一小球，另一端固定在點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)輕繩拉直，0A在同一水平線上，小球在同一點(diǎn)由靜止釋放后在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．求
（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)的速度大��；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)，繩子對(duì)小球的拉力大��；
（3）假設(shè)在O點(diǎn)正下方C處有一鐵釘，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)，繩子被鐵釘擋住，欲使小球繞鐵釘C能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求0C距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球在最低點(diǎn)時(shí)所受重力和繩的拉力合力提供向心力，由牛頓第二定律求解繩子對(duì)小球的拉力大��；
（3）根據(jù)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的臨界條件由機(jī)械能守恒或動(dòng)能定理求得小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小，再根據(jù)半徑大小確定OC距離的大小．

解答 解：（1）小球從A到B的過(guò)程中，只有重力對(duì)小球做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mgL=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
可得小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小${v}_{B}=\sqrt{2gL}$
（2）小球在最低點(diǎn)時(shí)，繩的拉力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有：
$T-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
可得$T=mg+m\frac{{v}_{B}^{2}}{L}=3mg$
（3）令小球碰到釘子后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則小球能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)重力恰好提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
mg=$m\frac{v{′}^{2}}{R}$
可得v$′=\sqrt{gR}$
小球從A開(kāi)始到圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)時(shí)只有重力對(duì)小球做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mg（L-2R）=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
代入$v′=\sqrt{gR}$可解得R=$\frac{2}{5}L$
所以O(shè)C間的最小距離為x=L-R=$\frac{3}{5}L$
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gL}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)，繩子對(duì)小球的拉力大小為3mg；
（3）假設(shè)在O點(diǎn)正下方C處有一鐵釘，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)，繩子被鐵釘擋住，欲使小球繞鐵釘C能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，0C距離的最小值為$\frac{3}{5}L$．

點(diǎn)評(píng) 小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)要注意，小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力．