Question

2009年3月1日，完成使命的“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星成功撞擊月球．“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在北京航天飛行控制中心科技人員的精確控制下，15時(shí)36分，衛(wèi)星啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始變軌，然后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)沿拋物線下落，16時(shí)13分10秒成功落在月球的豐富海區(qū)域．撞擊產(chǎn)生了高達(dá)10km的塵埃層．模擬撞擊實(shí)驗(yàn)顯示，塵埃能獲得的速度可達(dá)到衛(wèi)星撞擊前速度的11%；在衛(wèi)星變軌過(guò)程中，航天飛行控制中心還測(cè)得，衛(wèi)星在離月球表面高176km的圓軌道上運(yùn)行的周期為T(mén)₁=125min，在近月（高度不計(jì)）圓軌道上運(yùn)行的周期T₂=107.8min．計(jì)算時(shí)取

3

107.8

=4.76．試估算（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g；
（2）空中塵埃層存在的時(shí)間；
（3）“嫦娥一號(hào)”撞擊月球表面時(shí)的速度．

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星繞月圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬(wàn)有引力提供其向心力，根據(jù)牛頓第二定律對(duì)衛(wèi)星在離月球表面高176km的圓軌道和近月軌道分別列式，聯(lián)立可求得R和g．
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移公式和對(duì)稱性求空中塵埃層存在的時(shí)間．
（3）根據(jù)條件：塵埃能獲得的速度可達(dá)到衛(wèi)星撞擊前速度的11%，先由機(jī)械能守恒求出塵埃上升時(shí)的初速度，即能根據(jù)條件求出“嫦娥一號(hào)”撞擊月球表面時(shí)的速度．

解答：解：（1）衛(wèi)星繞月圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬(wàn)有引力提供其向心力，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：
在離月球表面高176km的圓軌道上，有  G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T 2 1

(R+h)  ①
在近月軌道上，有：G

Mm

R2

=m

4π2

T 2 2

R  ②
由①②得：

(R+h)3

R3

=

T 2 1

T 2 2

解得：
  R=

3 T 2 2

3 T 2 1 - 3 T 2 2

h=1.7×106m ③
  g=

4π2

T 2 2

R=1.6m/s2  ④
（2）上升最高的塵埃做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，因此由 H=

1

2

g

t

2 下

得：t=2t_下=2

2H g

=2

2×104 1.6

=

5

×10²s=2.2×10²s
（3）塵埃上升時(shí)機(jī)械能守恒，有：
 

1

2

m

v

2 0

=mgH
得：v₀=

2gH

=

2×1.6×104

=1.8×10²m/s
則衛(wèi)星撞擊月球時(shí)的速度約為v=

v0

11%

=

1.8×102

11%

=1.6×10³m/s
答：
（1）月球半徑R和月球表面重力加速度g為1.6m/s²；
（2）空中塵埃層存在的時(shí)間為2.2×10²s；
（3）“嫦娥一號(hào)”撞擊月球表面時(shí)的速度為1.6×10³m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星問(wèn)題，關(guān)鍵要建立模型，理清解題思路：萬(wàn)有引力等于向心力．