Question

（2006?鹽城一模）如圖所示在xoy所在的平面內(nèi)，有兩根金屬絲MN和PQ，其形狀分別滿足方程y=asin

2πx

λ

和y=-asin

2πx

λ

，在兩金屬絲端點從M、P和N、Q之間各接二阻值為A的電阻絲，中間三個相交處均有絕緣表面層相隔，金屬絲電阻不計．x＜0的區(qū)域內(nèi)存在垂直xoy平面向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．兩金屬絲在沿x軸負(fù)方向的外力作用下，以初速度v勻速進(jìn)入磁場．
（1）用法拉第電磁感應(yīng)定律證明，金屬絲上的感應(yīng)電流是正弦式電流．
（2）求將兩金屬絲全部拉入磁場中，外力所做的功．
（3）假設(shè)僅在

λ

2

＜x＜0的區(qū)域內(nèi)存在垂xoy平面向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，求將兩金屬絲以速度v勻速拉過磁場外力所做的功．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律表示出感應(yīng)電動勢e的大小，再由歐姆定律得到感應(yīng)電流的大小表達(dá)式．即可證明．
（2）由上題結(jié)果可知金屬絲中感應(yīng)電流的最大值I_m，可求得有效值I=

2

2

Im，根據(jù)焦耳定律求兩電阻絲的發(fā)熱量，根據(jù)能量守恒得知，線框勻速運動時外力所做的功等于總熱量．
（3）先求出兩金屬絲拉入或拉出磁場時，感應(yīng)電動勢的最大值，得到有效值，根據(jù)焦耳定律求得外力做功；再用同樣的方法求出線框通過磁場時外力做功，即可求得外力所做的總功．

解答：解：（1）在t-t+△t時間間隔內(nèi)
△Φ_t=BLv△t=B?2asin

2πx

λ

?v△t=2Bavsin

2πvt

λ

△t
據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律E=

△Φ

△t

得
  e=2Bavsin

2πv

λ

t
感應(yīng)電流i=

e

R+R

=

Bav

R

sin

2πv

λ

t
可見金屬絲上的感應(yīng)電流是正弦式電流．證畢．
（2）由上知：感應(yīng)電流的最大值I_m=

Bav

R

，有效值為I=

2

2

Im=

2 Bav

2R

根據(jù)功能關(guān)系得：W=Q=I²R_總t=(

2 Bav

2R

)2?（2R）?

2λ

v

=

2B2a2vλ

R

（3）①將兩金屬絲拉入或拉出磁場區(qū)域的過程中，感應(yīng)電動勢最大值為
   E_m1=2Bav
感應(yīng)電流最大值 I_m1=

Em1

2R

=

Bav

R

拉力做功 W₁=Q₁=(

Im1

2

)2?(2R)?

0.5λ

v

=

B2a2vλ

2R

②拉金屬絲穿過磁場區(qū)域的過程中，感應(yīng)電動勢最大值為E_m2=4Bav
感應(yīng)電流最大值 I_m2=2

Bav

R

拉力做功 W₂=Q₂=(

Im1

2

)2?（2R）?

1.5λ

v

=

6B2a2vλ

R

故將兩金屬絲以速度v勻速拉過磁場外力所做的功為
 W′=2W₁+W₂=2?

B2a2vλ

2R

+

6B2a2vλ

R

=

7B2a2vλ

R

答：
（1）證明略．
（2）將兩金屬絲全部拉入磁場中，外力所做的功為

2B2a2vλ

R

．
（3）將兩金屬絲以速度v勻速拉過磁場外力所做的功為

7B2a2vλ

R

．

點評：本題關(guān)鍵是運用法拉第定律得到感應(yīng)電流的表達(dá)式，判斷出產(chǎn)生了正弦式電流，求電功時應(yīng)用有效值．