Question

14．為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)質(zhì)量為2kg的小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，恰從A點(diǎn)無碰撞地沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道AB的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）：
（1）求小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差；
（2）求小物塊沿著軌道AB運(yùn)動(dòng)的過程中克服摩擦力所做的功；
（3）為了讓小物塊能沿著軌道運(yùn)動(dòng)，并從E點(diǎn)飛出，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可解得落到A點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度v_y與h的關(guān)系，根據(jù)豎直方向速度v_y與水平方向速度v_x的夾角之間的關(guān)系，可以解得高度差h．
（2）由功的計(jì)算公式求解小物塊沿著軌道AB運(yùn)動(dòng)的過程中克服摩擦力所做的功．
（3）現(xiàn)根據(jù)第一問中求得到達(dá)A的速度，從A到B運(yùn)用動(dòng)能定理列方程，從B到環(huán)的最高點(diǎn)運(yùn)用機(jī)械能守恒列方程，再根據(jù)到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$≥mg，聯(lián)立解答．

解答 解：（1）設(shè)從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)的高度差為h，到A點(diǎn)時(shí)則有：${v}_{y}^{2}$=2gh
 且$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=tan37°     
代入數(shù)據(jù)v₀=4.0m/s，
解得：h=0.45m 
（2）小物塊沿著軌道AB運(yùn)動(dòng)的過程中克服摩擦力所做的功W_f：
W_f=μmgcos37°•L=16J
（3）小物體到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度有關(guān)系：$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
從A到B，由動(dòng)能定理：
  mgLsin37°-μmgcos37°×L=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
小物體從B到環(huán)最高點(diǎn)機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+mg•2R
為了讓小物塊能沿著軌道運(yùn)動(dòng)，并從E點(diǎn)飛出，在最高點(diǎn)有：m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$≥mg，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得 R≤0.66m
答：（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差為0.45m；
（2）小物塊沿著軌道AB運(yùn)動(dòng)的過程中克服摩擦力所做的功為16J；
（3）豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足的條件是R≤0.66m．

點(diǎn)評(píng) 此題要求熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，要有綜合運(yùn)用物理知識(shí)的能力．