Question

為了探測某未知星球，探測飛船載著登陸艙先在離該星球中心距離為r的圓軌道上運動，經(jīng)測定周期為T；隨后登陸艙脫離飛船，變軌到貼近該星球表面的圓軌道上運動，展開對該星球的探測，此時登陸艙的速度即為該星球的第一宇宙速度．已知該星球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）該星球的質(zhì)量．
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：1、根據(jù)萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，可解得該星球的質(zhì)量M．
2、該星球的第一宇宙速度為該星球的近地衛(wèi)星的運行速度，根據(jù)萬有引力提供向心力G

Mm0

R2

=m0

v2

R

，結(jié)合求得M，化簡可得第一宇宙速度．

解答：解：（1）設(shè)該星球的質(zhì)量為M，探測飛船的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力得：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得：M=

4π2r3

GT2

（2）設(shè)登陸艙的質(zhì)量為m₀，在貼近該星球表面的圓形軌道上運動的線速度為v，由萬有引力提供向心力得：
G

Mm0

R2

=m0

v2

R

聯(lián)立上式解得：v=

2πr

T

r R

答：（1）該星球的質(zhì)量為

4π2r3

GT2

．
（2）該星球的第一宇宙速度為

2πr

T

r R

．

點評：本題要掌握萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，結(jié)合題意要能正確的選擇向心力的表達(dá)式，從而計算中心天體的質(zhì)量，這是計算天體質(zhì)量的一種重要的方法．