Question

9．如圖所示，PQ和MN是固定于水平面內(nèi)的平行光滑金屬軌道，軌道足夠長，其電阻可忽略不計．金屬棒ab、cd放在軌道上，始終與軌道垂直，且接觸良好．金屬棒ab、cd的質(zhì)量均為m，長度均為L．兩金屬棒的長度恰好等于軌道的間距，它們與軌道形成閉合回路．金屬棒ab的電阻為2R，金屬棒cd的電阻為R．整個裝置處在豎直向上、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中．
若先保持金屬棒ab不動，使金屬棒cd在與其垂直的水平力F（大小未知）作用下，由靜止開始向右以加速度a做勻加速直線運動，水平力F作用t₀時間撤去此力，同時釋放金屬棒ab．求：
（1）棒cd勻加速過程中，外力F隨時間變化的函數(shù)關(guān)系；
（2）兩金屬棒在撤去F后的運動過程中，直到最后達到穩(wěn)定，金屬棒ab產(chǎn)生的熱量；
（3）兩金屬棒在撤去F后的運動過程中，直到最后達到穩(wěn)定，通過金屬棒cd的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）寫出安培力的表達式，再由牛頓第二定律求得F的表達式；
（2）應(yīng)用動量守恒求得末速度，在利用動能定理求得總的發(fā)熱量，然后根據(jù)串聯(lián)電路的焦耳定律求得ab棒的產(chǎn)熱；
（3）在任一極短時間，對cd棒應(yīng)用動量守恒定律，即可得到電荷量與動量的關(guān)系，在將整個過程的時間進行累加即可求得電荷量．

解答 解：（1）棒cd勻加速過程中，水平方向上只受F和安培力F'的作用，$F'=BIL=B•\frac{BLv}{R+2R}•L=\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{3R}t$，所以$F=F'+ma=\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{3R}t+ma$；
（2）金屬棒cd撤去外力時的速度v=at₀；
在撤去外力后，金屬棒ab，cd在水平方向上只受安培力的作用，且兩棒的安培力大小相等，方向相反；
最終達到穩(wěn)定狀態(tài)時，兩金屬棒之間的磁通量不再發(fā)生改變，即兩棒的速度相等，設(shè)都為v'，
將兩棒當(dāng)成一個整體，則在水平方向上，合外力為零，利用動量守恒定律則有：mv=mv'+mv'；
所以，$v'=\frac{1}{2}v$=$\frac{1}{2}a{t}_{0}$；
對整個過程應(yīng)用動能定理，則金屬棒總共產(chǎn)生的熱量Q等于克服安培力所做的功=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{1}{4}m{v}^{2}$=$\frac{1}{4}m{a}^{2}{{t}_{0}}^{2}$；
在整個過程中，通過金屬棒ab，cd的電流相等，所以，金屬棒ab產(chǎn)生的熱量=$\frac{2R}{2R+R}Q=\frac{1}{6}m{a}^{2}{{t}_{0}}^{2}$；
（3）兩金屬棒在撤去F后的運動過程中，直到最后達到穩(wěn)定過程中，在一極短時間段△t內(nèi)對金屬棒cd應(yīng)用動量守恒定理，則有：
F'•△t=BIL•△t=BL△q=-m△v，
因為上式對任一極短時間都成立，那么對整個過程則有：$BLq=-m（v'-v）=\frac{1}{2}mv$，
所以，$q=\frac{\frac{1}{2}mv}{BL}=\frac{ma{t}_{0}}{2BL}$．
答：（1）棒cd勻加速過程中，外力F隨時間變化的函數(shù)關(guān)系為$F=\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{3R}t+ma$；
（2）兩金屬棒在撤去F后的運動過程中，直到最后達到穩(wěn)定，金屬棒ab產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{6}m{a}^{2}{{t}_{0}}^{2}$；
（3）兩金屬棒在撤去F后的運動過程中，直到最后達到穩(wěn)定，通過金屬棒cd的電荷量q為$\frac{ma{t}_{0}}{2BL}$．

點評 閉合電路在磁場中的運動問題，求產(chǎn)熱、做功等能量問題一般使用動能定理；而求電荷量的問題，一般利用動量守恒定理．