Question

3．如圖所示，質(zhì)量為0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內(nèi)做“水流星”表現(xiàn)，轉(zhuǎn)動半徑為1m，小杯通過最高點的速度為4m/s，g取10m/s²．求：
（1）在最高點時，繩的拉力？水在最低點的向心加速度；
（2）在最高點時水對小杯底的壓力；
（3）為使小杯經(jīng)過最高點時水不流出，在最高點時最小速率是多少？

Answer 1

分析 （1）在最高點，對整體分析，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子的拉力，根據(jù)動能定理求出最低點的速度，結(jié)合向心加速度的公式求出在最低點的向心加速度大�。�
（2）對水研究，根據(jù)牛頓第二定律求出桶底對水的彈力，從而得出水對桶底的壓力．
（3）抓住重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出在最高點的最小速率．

解答 解：（1）在最高點，對整體分析，根據(jù)牛頓第二定律得，$F+Mg=M\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得$F=M\frac{{v}^{2}}{L}-Mg=1.5×\frac{16}{1}-15N$=9N．
根據(jù)動能定理得，$mg•2L=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得v′=$\sqrt{56}m/s$，
則水在最低點的向心加速度a=$\frac{v{′}^{2}}{L}=\frac{56}{1}m/{s}^{2}=56m/{s}^{2}$．
（2）在最高點，對水分析，根據(jù)牛頓第二定律有：$mg+N=m\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得N=$m\frac{{v}^{2}}{L}-mg=1×\frac{16}{1}-10N=6N$．
（3）根據(jù)$mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$得，${v}_{0}=\sqrt{gL}=\sqrt{10}m/s$．
答：（1）在最高點，繩子的拉力為9N，水在最低點的向心加速度為56m/s²．
（2）在最高點時水對小杯底的壓力為6N．
（3）在最高點時最小速率是$\sqrt{10}m/s$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，知道最高點的臨界情況是繩子的拉力為零或桶底對水的彈力為零，靠重力提供向心力．