Question

8．如圖所示為某制藥廠自動(dòng)生產(chǎn)流水線上的一部分裝置示意圖，已知傳送帶與水平面的夾角為α，O為漏斗，要使藥品從漏斗出來(lái)經(jīng)光滑槽送到傳送帶上，設(shè)滑槽與豎直方向的夾角為θ，則θ為多大時(shí)可使藥片滑到傳送帶上的時(shí)間最短？

Answer 1

分析 根據(jù)牛頓第二定律求出在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小，根據(jù)幾何關(guān)系求出斜面的長(zhǎng)度，再根據(jù)x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得到時(shí)間的表達(dá)式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：由正弦定理得，$\frac{s}{sin（90°-α）}$=$\frac{h}{sin[180°-θ-（90°-α）]}$
解得：s=$\frac{hcosα}{cos（θ-α）}$
加速度為 a=$\frac{mgcosθ}{m}$=gcosθ
由s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$=$\sqrt{\frac{2hcosα}{gcos（θ-α）cosθ}}$
設(shè)y=gcos（θ-α）cosθ，則y的導(dǎo)數(shù)為 y′=g[-sin（θ-α）cosθ-cos（θ-α）sinθ]=gsin（α-2θ）
當(dāng)y′=0時(shí)，即θ=$\frac{α}{2}$時(shí)y有最大，t有最小值．
答：θ為$\frac{α}{2}$時(shí)可使藥片滑到傳送帶上的時(shí)間最短．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到時(shí)間表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和求解．