Question

6．宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運行．設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m．則在第一種形式下，沿圓軌道運動的星體的角速度為$\frac{\sqrt{5GmR}}{2{R}^{2}}$；在第二種形式下，設(shè)星體之間的距離為d，則星體運動的周期為$\sqrt{\frac{{4{π^2}{d^3}}}{3Gm}}$．

Answer 1

分析 明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源，關(guān)鍵在于明確天體受到的合外力充當(dāng)向心力關(guān)系．

解答 解析：（1）對于第一種運動情況，以某個運動星體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有：
${F_1}=\frac{{G{m^2}}}{R^2}$
${F_2}=\frac{{G{m^2}}}{{{{（2R）}^2}}}$
F₁+F₂=mω²R
運動星體的線速度：$ω=\frac{{\sqrt{5GmR}}}{{2{R^2}}}$
（2）另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，則三個星體做圓周運動的半徑為：
R‘=$\frac{\fracw6bymdc{2}}{cos30°}$
由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供．由力的合成和牛頓運動定律有：
${F_合}=2\frac{{G{m^2}}}{d^2}cos{30°}$
${F_合}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R'$
由⑤⑥⑦式得：T=$\sqrt{\frac{{4{π^2}{d^3}}}{3Gm}}$
故答案為：$\frac{\sqrt{5GmR}}{2{R}^{2}}$；$\sqrt{\frac{{4{π^2}{d^3}}}{3Gm}}$

點評 萬有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析，明確星球轉(zhuǎn)動中是哪些力的合力來充當(dāng)向心力．