Question

2011年11月3日凌晨，我國(guó)“神舟八號(hào)”飛船與“_天宮一號(hào)”實(shí)現(xiàn)完美對(duì)接，標(biāo)志著我國(guó)的航天事業(yè)又邁出了堅(jiān)實(shí)的一步，不久的將來我國(guó)宇航員也將登陸月球．假設(shè)某次登陸活動(dòng)中，宇航員為了測(cè)定月球表面的重力加速度，做了如下探究：將直徑為d的光滑環(huán)形軌道豎直固定，在軌道最高點(diǎn)安裝一個(gè)壓力傳感器P，讓小滑塊在軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．當(dāng)小滑塊經(jīng)過軌道最高點(diǎn)速度為V₀時(shí)，傳感器測(cè)得的壓力恰為零．已知月球的半徑為R_月．
（1）試求月球表面的重力加速度G_月；
（2）若給月球發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，試計(jì)算衛(wèi)星的運(yùn)行周期應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）小球從圓軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程中，只有月球的引力做負(fù)功，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，由月球的引力提供其圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度．
（2）由月球表面的物體的重力約等于物體與月亮的萬有引力可得月球的質(zhì)量；在月球表面上發(fā)射衛(wèi)星的條件是，衛(wèi)星的速度滿足萬有引力提供勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律列方程即可．

解答：解：（1）由于小滑塊恰能通過軌道最高點(diǎn)，所以有：mG_月=m

v 2 0

R

 ①
    R=

d

2

  ②
聯(lián)立①②解得：G_月=

2 v 2 0

d

  ③
（2）衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力等于向心力，即
  G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r  ④
在月球表面，萬有引力近似等于其重力，即
 G

Mm

R 2 月

=mG_月  ⑤
聯(lián)立④⑤解得 T=2π

r3 R 2 月 G月

  ⑥
當(dāng)衛(wèi)星貼近月球表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，r≈R_月，此時(shí)運(yùn)動(dòng)周期最短，故T′≥2π

R月 G月

  ⑦
又由③式可得T′≥

π

v0

2R月d

答：
（1）月球表面的重力加速度G_月為

2 v 2 0

d

．
（2）若給月球發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，衛(wèi)星的運(yùn)行周期應(yīng)滿足的條件是T′≥

π

v0

2R月d

．

點(diǎn)評(píng)：在任意星體的表面都有物體的萬有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬有引力恰提供其繞星球表面運(yùn)行的向心力時(shí)的速度，此時(shí)軌道半徑就是星球的半徑．