Question

【題目】萬有引力定律揭示了天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性。

(1)用彈簧測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球的質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)為F0，若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F1，若在赤道地面稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F2，求比值的表達(dá)式和比值的表達(dá)式。

(2)設(shè)想地球繞太陽公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑r，太陽的半徑RS和地球半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現(xiàn)實(shí)地球的1年為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算“設(shè)想地球”的一年將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)1年

【解析】

(1)設(shè)小物體質(zhì)量為m，在北極地面

在北極上空高出地面h處

在赤道地面，小物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到萬有引力和彈簧秤的作用力，有

得

(2)地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受太陽得萬有引力。設(shè)太陽得質(zhì)量為，地球得質(zhì)量為M，地球公轉(zhuǎn)周期為TE，有：

解得

其中為太陽得密度。由上式可知，地球公轉(zhuǎn)周期TE僅與太陽得密度、地球公轉(zhuǎn)軌道半徑與太陽半徑之比有關(guān)。因此“設(shè)想地球”的1年與現(xiàn)實(shí)地球的1年時(shí)間相同。