Question

10．如圖所示，輕彈簧的一端固定在墻上，另一端與置于粗糙水平面上質量為m的小球接觸但不連接．開始時小球位于O點，彈簧水平且無形變．O點的左側有一豎直放置的光滑半圓弧軌道，圓弧的半徑為R，B為軌道最高點，小球與水平面間的動摩擦因數為μ．現用外力推動小球，將彈簧壓縮至A點，OA間距離為x₀，將球由靜止釋放，小球恰能沿軌道運動到最高點B，已知彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g，下列說法中正確的是（　　）

• A． 小球在從A到O運動的過程中速度不斷增大
• B． 小球運動過程中的最大速度為v_m=$\sqrt{5gR}$
• C． 小球與彈簧作用的過程中，彈簧的最大彈性勢能E_p=2.5mgR+μmgx₀
• D． 小球通過圓弧軌道最低點時，對軌道的壓力為5mg

Answer 1

分析 對小球進行受力分析，由牛頓第二定律說明速度的變化；小滑塊恰好能到達圓弧軌道最高點B，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出到達C點的速度，再由動能定理求彈簧對小滑塊做的功，由功能關系求出彈簧的彈性勢能．

解答 解：A、小球在水平面內受到彈簧的彈力和地面的摩擦力，開始時彈簧的彈力大于地面的摩擦力，所以小球做加速運動；彈簧接近原長時，彈簧的彈力小于地面的摩擦力，小球做減速運動．故A錯誤；
B、小滑塊恰好能到達圓弧軌道最高點B，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
從O到B的過程中：$\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}+2mgR$
聯立得：${v}_{O}=\sqrt{5gR}$
由于小球從A到O的過程中先加速后減速，所以小球的最大速度一定大于$\sqrt{5gR}$．故B錯誤；
C、A到O的過程中：${W}_{彈}-μmg{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{O}^{2}$
又：E_P=W_彈
所以小球與彈簧作用的過程中，彈簧的最大彈性勢能E_p=2.5mgR+μmgx₀．故C正確；
D、小球通過圓弧軌道最低點時，受到的支持力與重力的合力提供向心力，則：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{O}^{2}}{R}$
所以F_N=6mg
由牛頓第三定律可知，對軌道的壓力為6mg．故D錯誤．
故選：C

點評 本題的關鍵要掌握最高點的臨界條件：重力等于向心力．同時分析清楚物體運動過程，應用動能定理求彈力做功．