Question

（20分）如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個(gè)半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動。彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點(diǎn)d水平拋出。已知小球與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，不計(jì)其它機(jī)械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.26kg，g=10m/s²，求：

（1）要使小球從d點(diǎn)拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足什么條件？

（2）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，

當(dāng)v₀至少為多少時(shí)，小球經(jīng)過兩半圓的對接處c點(diǎn)時(shí)，軌道對地面的壓力為零。

（3）若v₀=3m/s，小球最終停在何處？

Answer 1

（20分）

（1）設(shè)小球到達(dá)d點(diǎn)處速度為v_d，由動能定理，得

  ………（1）

如小球由d點(diǎn)做平拋運(yùn)動剛好經(jīng)過圖中的O點(diǎn)，則有

  ……………………………………（2）

   ……………………………………… 3）

聯(lián)立①②③并代入數(shù)值得

   …………………… （4）

小球的初速度v₀需滿足  …………………………（5）

（2）設(shè)小球到達(dá)c點(diǎn)處速度為v_c，由動能定理，得

  …………………………（6）

當(dāng)小球通過c點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得

   ………………………………………………（7）

要使軌道對地面的壓力為零，則有

N′=Mg   …………………………………………………………………（8）

聯(lián)立⑥⑦⑧并代入數(shù)值，解得小球的最小速度

v₀=6 m/s  …………………………………………………………………（9）

（3）小球能通過d點(diǎn)，需滿足，由動能定理

  ………………………………………（10）

得：

因，小球過不了d點(diǎn)而沿軌道原路返回…………（11）

對整個(gè)過程由動能定理，有

   …………………………………………………（12）

得     ……………………………………………………………（13）

小球最終停在a右側(cè)處  ……………………………………………（14）

評分標(biāo)準(zhǔn)：共20分，其中（1）（6）各3分（7）（12）各2分，其余各1分。