Question

如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，由一段斜直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道半徑為R．一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜直軌道上的A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)．A點(diǎn)距軌道最低點(diǎn)的豎直高度為4R．已知重力加速度為g．
（1）求小物塊通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)C時(shí)速度v的大小和軌道對(duì)小物塊支持力F的大小；
（2）現(xiàn)使小物塊帶電，其電荷量為+q，
a．若在空間加一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小物塊仍從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小物塊的支持力為2F，求所加勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大��；
b．若在空間加一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，小物塊仍從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小物塊的支持力為

2

3

F，求所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

Answer 1

分析：（1）A到C的過(guò)程中機(jī)械能守恒，且在C點(diǎn)時(shí)，重力和軌道與小球的支持力的合力提供向心力，列出公式，即可求得小物塊通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)C時(shí)速度v的大小和軌道對(duì)小物塊支持力F的大小，
（2）若在空間加一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，仍然可以根據(jù)動(dòng)能定律和向心力的公式求得結(jié)果；若在空間加一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，洛倫茲力不做功，但在最高點(diǎn)時(shí)，洛倫茲力、重力與支持力的和提供向心力．

解答：解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mg?(4R-2R)=

1

2

mv2
所以v=

4gR

根據(jù)牛頓第二定律有mg+F=m

v2

R

所以F=3mg
（2）a．設(shè)加電場(chǎng)后小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律有mg?2R+qE?2R=

1

2

m

v

2 1

mg+qE+2F=m

v 2 1

R

又因?yàn)镕=3mg
所以E=

mg

q

b．設(shè)加磁場(chǎng)后小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律有mg?2R=

1

2

m

v

2 2

mg+qv2B+

2

3

F=m

v 2 2

R

又因?yàn)镕=3mg
所以B=

mg gR

2qgR

答：（1）求小物塊通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)C時(shí)速度為

4gR

，軌道對(duì)小物塊支持力F=3mg；
（2）所加勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E=

mg

q

；所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

mg gR

2qgR

．

點(diǎn)評(píng)：該題以豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)為基本模型，增加了電場(chǎng)與磁場(chǎng)的變化．解題的關(guān)鍵是抓住豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)進(jìn)行分析．需要一定的知識(shí)遷移能力．